解题思路

这是一个典型的动态规划问题。需要计算从左上角到右下角的所有可能路径数，只能向右和向下走。

关键点

  1. 限制条件：

    • 只能向右或向下移动
    • 不能回头（不能向左和向上）
    • 沿着格子边线行走

  2. 动态规划思路：

    • 每个格点的路径数等于其上方格点和左方格点的路径数之和
    • 边界条件：第一行和第一列的格点路径数都为1

代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int getPathCount(int n, int m) {
    vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(m + 1, 0));
    
    // 初始化第一行和第一列
    for (int i = 0; i <= n; i++) dp[i][0] = 1;
    for (int j = 0; j <= m; j++) dp[0][j] = 1;
    
    // 动态规划填表
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
        }
    }
    
    return dp[n][m];
}

int main() {
    int n, m;
    while (cin >> n >> m) {
        cout << getPathCount(n, m) << endl;
    }
    return 0;
}

import java.util.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        while (sc.hasNext()) {
            int n = sc.nextInt();
            int m = sc.nextInt();
            System.out.println(getPathCount(n, m));
        }
    }
    
    public static int getPathCount(int n, int m) {
        int[][] dp = new int[n + 1][m + 1];
        
        // 初始化第一行和第一列
        for (int i = 0; i <= n; i++) dp[i][0] = 1;
        for (int j = 0; j <= m; j++) dp[0][j] = 1;
        
        // 动态规划填表
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
            }
        }
        
        return dp[n][m];
    }
}

def getPathCount(n, m):
    # 创建dp数组并初始化
    dp = [[1] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]
    
    # 动态规划填表
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, m + 1):
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
    
    return dp[n][m]

while True:
    try:
        n, m = map(int, input().split())
        print(getPathCount(n, m))
    except:
        break

算法及复杂度

算法分析

  1. 动态规划状态：

    • 表示从起点到位置的路径数
    • 状态转移：

  2. 边界条件：

    • 第一行：
    • 第一列：

复杂度分析

  • 时间复杂度： - 需要填充整个dp表
  • 空间复杂度： - 需要一个二维数组存储状态