题目难度: 简单

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题目描述

给定一个数组 A[0,1,…,n-1]，请构建一个数组 B[0,1,…,n-1]，其中 B 中的元素 B[i]=A[0]×A[1]×…×A[i-1]×A[i+1]×…×A[n-1]。不能使用除法。

  • 所有元素乘积之和不会溢出 32 位整数
  • a.length <= 100000

题目样例

示例

  • 输入: [1,2,3,4,5]
  • 输出: [120,60,40,30,24]

题目思考

  1. 如何做到 O(N)时间复杂度?

解决方案

思路

  • 一个比较容易想到的思路是暴力法, 对每个元素都计算其左右乘积, 这样时间复杂度达到了 O(N^2), 按照题目数据规模肯定会超时
  • 还有种方法是求所有元素的总乘积, 然后对于每个元素分别除以自身 (注意对 0 的处理), 这样虽然只用了 O(N)时间, 但不满足题目要求
  • 那如何做到 O(N)时间复杂度且不使用除法呢? 我们如果能够在计算某个元素时利用到之前的计算结果, 那么就不需要重复计算当前的左右所有乘积了
  • 比较容易想到的思路就是类似前缀和的预处理方案, 只是这里改成了前缀积, 具体步骤如下:
    1. 从左到右遍历一遍数组, 记录当前前缀积并保存到数组中
    2. 然后再从右向左遍历, 记录当前后缀积, 然后与前一个前缀积相乘, 即为当前元素的左右所有元素乘积了
  • 下面的代码对必要步骤有详细的解释, 方便大家理解

复杂度

  • 时间复杂度 O(N): 只需要遍历数组两次
  • 空间复杂度 O(N): 需要维护一个前缀积数组

代码

class Solution:
    def constructArr(self, a: List[int]) -> List[int]:
        # 从左到右, 再从右向左遍历
        # 维护前缀积数组, 从右向左遍历时只需要维护后缀积即可, 然后乘以前一个前缀积, 其结果即为当前元素的左右元素乘积
        lefts = []
        left = 1
        for x in a:
            left *= x
            lefts.append(left)
        # 这里只需要维护后缀积, 没必要再建立一个后缀积数组
        right = 1
        res = [0] * len(a)
        for i in range(len(a))[::-1]:
            # 注意下标为0时左侧没有元素, 此时左侧部分乘积置为1
            left = lefts[i - 1] if i > 0 else 1
            res[i] = left * right
            # 注意当前元素处理完之后再乘以它, 因为结果是不包含当前元素自身的
            right *= a[i]
        return res

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