最小生成树_牛客博客

算法7-9：最小生成树

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题目描述

最小生成树问题是实际生产生活中十分重要的一类问题。假设需要在n个城市之间建立通信联络网，则连通n个城市只需要n-1条线路。这时，自然需要考虑这样一个问题，即如何在最节省经费的前提下建立这个通信网。

可以用连通网来表示n个城市以及n个城市之间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两个城市之间的线路，赋于边的权值表示相应的代价。对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一棵生成树都可以是一个通信网。现在，需要选择一棵生成树，使总的耗费最小。这个问题就是构造连通网的最小代价生成树，简称最小生成树。一棵生成树的代价就是树上各边的代价之和。

而在常用的最小生成树构造算法中，普里姆（Prim）算法是一种非常常用的算法。以下是其算法的大致结构：

在本题中，读入一个无向图的邻接矩阵（即数组表示），建立无向图并按照以上描述中的算法建立最小生成树，并输出最小生成树的代价。

输入

输入的第一行包含一个正整数n，表示图***有n个顶点。其中n不超过50。

以后的n行中每行有n个用空格隔开的整数，对于第i行的第j个整数，如果不为0，则表示第i个顶点和第j个顶点有直接连接且代价为相应的值，0表示没有直接连接。当i和j相等的时候，保证对应的整数为0。

输入保证邻接矩阵为对称矩阵，即输入的图一定是无向图，且保证图中只有一个连通分量。

输出

只有一个整数，即最小生成树的总代价。请注意行尾输出换行。

样例输入

样例输出

提示

在本题中，需要掌握图的深度优先遍历的方法，并需要掌握无向图的连通性问题的本质。通过求出无向图的连通分量和对应的生成树，应该能够对图的连通性建立更加直观和清晰的概念。

解题思路

这道题就是一道最小生成树的纯模板题。具体见代码：

#include <stdio.h>
const int inf = 99999999;
int main()
{
    int n, data, sum, min, count;
    int map[55][55], vis[55], dis[55];
    while (~scanf("%d", &n))
    {
        sum = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            for (int j = 0; j < n; j++)
            {
                scanf("%d", &map[i][j]);
                if(i != j && !map[i][j])
                    map[i][j] = inf;
            }
        }
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            dis[i] = map[0][i];
            vis[i] = 0;
        }
        vis[0] = count = 1;
        while (count < n)
        {
            min = inf;
            for (int i = 0; i < n; i++)
            {
                if (!vis[i] && dis[i] < min)
                {
                    min = dis[i];
                    data = i;
                }
            }
            vis[data] = 1;
            count++;
            sum += dis[data];
            for (int k = 0; k < n; k++)
            {
                if (!vis[k] && dis[k] > map[data][k])
                    dis[k] = map[data][k];
            }
        }
        printf("%d\n", sum);
    }
    return 0;
}