题解 | 比例简化-NOIP2014普及组复赛C题

题目描述

在社交媒体上，经常会看到针对某一个观点同意与否的民意调查以及结果。例如，对某一观点表示支持的有 1498 人，反对的有 902 人，那么赞同与反对的比例可以简单的记为 1498:902 。

不过，如果把调查结果就以这种方式呈现出来，大多数人肯定不会满意。因为这个比例的数值太大，难以一眼看出它们的关系。对于上面这个例子，如果把比例记为 5:3 ，虽然与真实结果有一定的误差，但依然能够较为准确地反映调查结果，同时也显得比较直观。

现给出支持人数A，反对人数 B ，以及一个上限 L ，请你将 A 比 B 化简为 A ’比 B ’，要求在 A ’和 B ’均不大于 L 且 A ’和 B ’互质（两个整数的最大公约数是 1 ）的前提下， A ’ /B ’ ≥ A/B 且 A ’ /B ’ - A/B 的值尽可能小。

输入描述:

输入共一行，包含三个整数 A,B,L ，每两个整数之间用一个空格隔开，分别表示支持人数、反对人数以及上限。

输出描述:

输出共一行，包含两个整数 A ’， B ’，中间用一个空格隔开，表示化简后的比例。

示例1

输入

1498 902 10

输出

5 3

备注:

对于 100% 的数据， 1 ≤ A ≤ 1,000,000,1 ≤ B ≤ 1,000,000,1 ≤ L ≤ 100,A/B ≤ L

解答

其实如果数据足够大，穷举就会超时，但是有一种 $O(2n)$ 的算法，用到的是逼近法：

i和j从1开始，如果 $i/j<a/b$ 那么 $i++$ (如果还不够大，那么分子加一)，如果 $i/j\geq a/b$ 那么 $j++$ (如果还打了，分子就不加了，加分母)并且与ans判断取小的

这里注意一点，浮点数运算是不精确的，判断 $i/j\geq a/b$ 要适当变形：

$i\geq j\times a/ b$

$i\times b\geq j\times a$

这样就只需要做整数乘法即可

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<string>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<fstream>
using namespace std;
int main(){
    int a,b,c,d,n;//a,b表示输入进来的，c,d表示题目中的a',b'，也就是上文中的i,j，n就是上限啦
    cin>>a>>b>>n;//输入
    int ans1=n,ans2=1;//将ans赋值为不超过上限的最大值
    c=d=1;//初值为1
    while(c<=n&&d<=n){//不能超过上限
        if(a*d<=b*c){//如果大于等于（用上面推出的公式）
            if(c*ans2<d*ans1){//看是否能更新答案（还是用上面推出的公式）
                ans1=c;//更新
                ans2=d;
            }
            d++;//分母加1
        }else{//如果小于
            c++;//分子加1
        }
    }
    cout<<ans1<<' '<<ans2<<endl;//输出答案
    return 0;
}

来源：クトリ