• P(AB) 不等于 P(A)*P(B) ,而是AB共同的面积的概率
  • A,B,C至多2个发生 = = > 发生0个or发生1个or发生2个==>起码有一个事件不能发生,其他事件发生与否无所谓==>(非A)U(非B)U(非B)
  • ABC不多于一个发生 ==> 反正必须有2个不能发生,剩下那个无所谓 ==> (非A非B)U(非A非C)U(非B非C)
  • [ ]

预备知识

数列求和公式 Σ
上标写数列项的总数 n
下标写数列项的首项 i=首项

第一节:随机事件

随机实验与样本空间

随机事件 E
样本空间 == 事件E的所有结果的集合
样本点 == 事件E的单个结果
随机事件=随机试验中的某一次事件 A
不可能事件
实例:
  • 随机实验==无数次进行相同操作的事件
  • 随机事件==某一次随机实验中的事件
  • 必然事件+随机事件+不可能事件=所有事件

随机事件

子事件
和事件:两事件的并集
积事件:两事件的交集
差事件:
互斥事件:
对立事件

事件间的关系与运算

运算规律!
交换律
结合律
分配律
拆分律

随机事件的概率

频率与概率

频率 次数
概率 P ( )

概率的性质

若事件A1 / A2 / A3 / A4 两两互不相容
若事件A是事件B的子事件
任意两个事件A 与 B
任意多个事件A1 / A2 / A3

古代概型==等可能概型

古典概型 空间样本元素有限 并且 每个基本事件发生的可能性相同
重要:

几何概型

几何概型: 平面上一区域或空间的具有无限多结果且等可能性的实验

第三讲&条件概率

  • 全概率公式巧记 == 全部概率的和

一&条件概率

条件概率 P ( B 丨 A ) 在事件A发生的条件下,B发生的概率
P ( B 丨 A ) == P( A B ) / P ( A ) ==> B后发生的概率 = AB同时发生的概率 / A发生的概率
计算P ( A 丨 B )的方法只有2种 1:已知A发生后的样本空间的化,直接根据实际情况算 //2:不知道A发生后的样本空间,用公式计算

二&乘法公式

乘法公式 P( A B ) //注意B在A的前提下发生!
P( A B ) == P( A 丨 B ) * P( B ) ==> AB同时发生的概率 = A发生的概率 * B后发生的概率

三&全概率公式&Bayes公式

全概率公式定义: 设样本空间Ω被划分为A1 , A2 , A3 …, An的n个平行空间,并且每个空间都能发生事件B,求Ω空间发生B的概率 == 各个小的A1…An发生事件B的概率相加 == 多个条件概率相加
公式形式
Bayes公式定义: 与全概率公式相反,已知样本空间Ω被划分为N块优先级平等的A1~Ai的空间,空间Ω发生事件B的概率已知,求空间Ω的子空间 Ai
Bayes公式格式
注意:Bayes公式分母 == 全概率公式B事件发生的概率 注意Bayes公式主要运用的是条件概率公式

第四节&独立性&主观概率

一&独立性

证明两事件相互独立

如何证明A事件与B事件互为独立事件 P ( A B ) = P( A ) * P ( B )
0概率事件==>这个事件事件有发生的概率,但是几乎为0 概率很小的事件,例如大海捞针
不可能事件==发生概率为0 不等于0概率事件 硬币有三面
定理一: 如果事件A与事件B相互独立 ==> A与B反事件也相互独立 // B与A反事件也相互独立
定理2:

证明多事件相互独立

如何证明事件A,B,C相互独立 先证明三个事件整体独立 ==> 再证明任意2个事件互相独立
如何证明事件 A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , … An 都是独立的 先证明n个事件整体独立 == > 任 意n-1个事件是独立的 == > 任意n-2个事件是独立的 …==> 任意2个事件的独立的
例:证明 A1 , A2 , A3相互独立

二&主观概率

公式******