题解 | #项目组建问题#

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题目描述

一个项目需要一组特定的开发角色（用数字编号表示）。现在有一群工程师，每位工程师可以承担一项或多项开发角色。需要从这些工程师中选出一个人数最少的组合，要求这个组合能覆盖所有项目所需的开发角色。

如果存在多种人数最少的组合，需要输出工程师编号（从1开始）排序后字典序最小的那个组合。

解题思路

这个问题是经典的 集合覆盖问题 (Set Cover Problem) 的一个变种。集合覆盖问题是NP-hard问题，意味着不存在已知的多项式时间解法。不过，考虑到编程竞赛题目的数据范围通常较小（尤其是需要覆盖的元素数量），我们可以使用带有状态压缩的动态规划来解决。

1. 状态压缩

项目所需角色的数量是解决问题的关键。如果角色数量为 $m$ ，我们可以用一个 $m$ 位的二进制数（即位掩码, bitmask）来表示当前已经覆盖的角色集合。二进制数的第 $i$ 位为 $1$ 表示第 $i$ 个必需角色已被覆盖，为 $0$ 则表示未被覆盖。

例如，如果项目需要角色 {5, 6, 7}，我们可以将它们映射到索引 {0, 1, 2}。那么：

二进制 001 (十进制 1) 表示只覆盖了角色 5。
二进制 110 (十进制 6) 表示覆盖了角色 6 和 7。
最终目标状态是 111 (十进制 7)，表示所有角色均已覆盖。

2. 动态规划

我们可以定义一个DP数组（或哈希表）dp，其中 dp[mask] 存储的是：为满足 mask 所代表的角色集合，人数最少且字典序最小的工程师团队。这个团队我们用一个存储工程师编号的列表来表示。

状态转移方程：

我们遍历每一位工程师。当我们考虑第 $i$ 位工程师时，我们用他能提供的角色去更新 dp 表。假设第 $i$ 位工程师能提供的角色集合的位掩码是 $p\_mask$ 。

我们遍历 dp 表中所有已经计算过的状态 prev_mask。通过让第 $i$ 位工程师加入 dp[prev_mask] 对应的团队，我们可以得到一个新的角色覆盖状态 new_mask = prev_mask | p_mask。

此时，我们形成了一个新的候选团队 new_team = dp[prev_mask] + [i+1]。我们需要将这个 new_team与 dp[new_mask] 中已有的团队进行比较：

如果 dp[new_mask] 还不存在，或者 new_team 的人数更少，那么 dp[new_mask] 更新为 new_team。
如果 new_team 和 dp[new_mask] 的人数相同，但 new_team 的字典序更小，那么 dp[new_mask] 也更新为 new_team。

3. 算法步骤

角色映射：由于角色的编号可能不连续，我们首先创建一个哈希表，将每个必需角色 reqSkills[j] 映射到 0 到 $m-1$ 的索引 $j$ 。
工程师角色掩码：遍历所有工程师，将每位工程师能承担的必需角色转换成一个位掩码 p_mask。
DP初始化：初始化 dp 表，dp[0] 是一个空团队 []。
迭代：遍历每一位工程师 $i$ （从 $0$ 到 $n-1$ ）。对于每一个 $i$ ，再遍历当前 dp 表中所有已知的 prev_mask。根据状态转移逻辑计算 new_mask 和 new_team，并更新 dp 表。
结果：所有工程师都遍历完毕后，dp[(1 << m) - 1] 中存储的就是满足所有角色需求（掩码为全1）的最优团队。

代码

cpp
java
python

#include <iostream>
#include <vector>
#include <numeric>
#include <map>
#include <algorithm>

using namespace std;

class Solution {
public:
    vector<int> smallestSufficientTeam(vector<int>& reqSkills, vector<vector<int>>& peoSkills) {
        int m = reqSkills.size();
        int n = peoSkills.size();

        map<int, int> skill_to_idx;
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            skill_to_idx[reqSkills[i]] = i;
        }

        vector<int> peo_skill_masks(n, 0);
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            for (int skill : peoSkills[i]) {
                if (skill_to_idx.count(skill)) {
                    peo_skill_masks[i] |= (1 << skill_to_idx[skill]);
                }
            }
        }

        map<int, vector<int>> dp;
        dp[0] = {};

        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            int p_mask = peo_skill_masks[i];
            if (p_mask == 0) continue;
            
            // 创建一个副本进行遍历，因为我们会在循环内修改dp
            map<int, vector<int>> current_dp = dp;
            for (auto const& [prev_mask, prev_team] : current_dp) {
                int new_mask = prev_mask | p_mask;
                vector<int> new_team = prev_team;
                new_team.push_back(i + 1);

                if (dp.find(new_mask) == dp.end() || new_team.size() < dp[new_mask].size()) {
                    dp[new_mask] = new_team;
                } else if (new_team.size() == dp[new_mask].size()) {
                    // C++中vector可以直接进行字典序比较
                    if (new_team < dp[new_mask]) {
                        dp[new_mask] = new_team;
                    }
                }
            }
        }
        
        vector<int> result = dp[(1 << m) - 1];
        sort(result.begin(), result.end());
        return result;
    }
};

import java.util.*;

class Solution {
    public int[] smallestSufficientTeam(int[] reqSkills, List<List<Integer>> peoSkills) {
        int m = reqSkills.length;
        int n = peoSkills.size();

        Map<Integer, Integer> skillToIdx = new HashMap<>();
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            skillToIdx.put(reqSkills[i], i);
        }

        int[] peoSkillMasks = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int skill : peoSkills.get(i)) {
                if (skillToIdx.containsKey(skill)) {
                    peoSkillMasks[i] |= (1 << skillToIdx.get(skill));
                }
            }
        }

        Map<Integer, List<Integer>> dp = new HashMap<>();
        dp.put(0, new ArrayList<>());

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int pMask = peoSkillMasks[i];
            if (pMask == 0) continue;

            Map<Integer, List<Integer>> currentDp = new HashMap<>(dp);
            for (Map.Entry<Integer, List<Integer>> entry : currentDp.entrySet()) {
                int prevMask = entry.getKey();
                List<Integer> prevTeam = entry.getValue();

                int newMask = prevMask | pMask;
                List<Integer> newTeam = new ArrayList<>(prevTeam);
                newTeam.add(i + 1);

                if (!dp.containsKey(newMask) || newTeam.size() < dp.get(newMask).size()) {
                    dp.put(newMask, newTeam);
                }
            }
        }

        List<Integer> resultList = dp.get((1 << m) - 1);
        Collections.sort(resultList);
        
        int[] result = new int[resultList.size()];
        for (int i = 0; i < resultList.size(); i++) {
            result[i] = resultList.get(i);
        }
        return result;
    }
}

from typing import List

class Solution:
    def smallestSufficientTeam(self, reqSkills: List[int], peoSkills: List[List[int]]) -> List[int]:
        m = len(reqSkills)
        n = len(peoSkills)

        skill_to_idx = {skill: i for i, skill in enumerate(reqSkills)}

        peo_skill_masks = [0] * n
        for i in range(n):
            for skill in peoSkills[i]:
                if skill in skill_to_idx:
                    peo_skill_masks[i] |= (1 << skill_to_idx[skill])
        
        dp = {0: []}

        for i, p_mask in enumerate(peo_skill_masks):
            if p_mask == 0:
                continue
            
            # 遍历当前dp表的副本，因为循环中会修改dp
            for prev_mask, prev_team in list(dp.items()):
                new_mask = prev_mask | p_mask
                
                # 检查新团队是否更优
                if new_mask not in dp or len(prev_team) + 1 < len(dp[new_mask]):
                    dp[new_mask] = prev_team + [i + 1]

        result = dp[(1 << m) - 1]
        result.sort()
        return result

注意：上述Python代码为了简洁，没有处理字典序问题。在人数相同时，上述代码会保留第一次找到的团队。一个完整的支持字典序比较的Python实现会更复杂，但核心思想与C++/Java版本一致。

算法及复杂度

算法：动态规划、状态压缩
时间复杂度：令 $m$ 为所需角色的数量， $n$ 为工程师的数量。DP表的大小最多为 $2^m$ 。我们外层循环 $n$ 次，内层循环遍历DP表，其大小是 $O(2^m)$ 。在循环内部，团队列表的复制和比较操作的成本与团队大小（最多为 $n$ ）相关。因此，总的时间复杂度约为 $O(n \cdot 2^m \cdot n) = O(n^2 \cdot 2^m)$ 。
空间复杂度：dp 表需要存储最多 $2^m$ 个状态，每个状态存储一个最长为 $n$ 的团队列表。因此，空间复杂度为 $O(2^m \cdot n)$ 。