以下我在知道结论后自己证出的三个公式，相互关联的。虽然不难，但还是有一定成就感，顺便学习一下markdown怎么编辑数学公式
markdown数学公式

1.和角公式

∠AOB=α $\angle AOB=\alpha$
∠BOD=β $\angle BOD=\beta$
SΔAOC+S四边形ABDC=SΔAOB+SΔBOD $S\Delta AOC+S四边形ABDC=S\Delta AOB+S\Delta BOD$
[cos(α+β)⋅sin(α+β)/2]+{[sinβ+sin(α+β)]⋅[cosβ−cos(α+β)]}=(1×1⋅sinα/2)+(sinβ⋅cosβ/2) $[\cos (\alpha +\beta )\cdot \sin (\alpha +\beta \left)/2\right]+\left\{\right[\sin \beta +\sin (\alpha +\beta )]\cdot [\cos \beta -cos(\alpha +\beta )\left]\right\}=(1\times 1\cdot \sin \alpha /2)+(\sin \beta \cdot \cos \beta /2)$
各项拆开，化简后得到：
sinα=sin(α+β)cosβ−sinβcos(α+β) $\sin \alpha =\sin (\alpha +\beta )\cos \beta -\sin \beta \cos (\alpha +\beta )$
cos $\cos$， tan $\tan$也同理可证

2.向量旋转公式

A(x2,y2) $A(x2,y2)$
B(x1,y1) $B(x1,y1)$
∠AOB=α $\angle AOB=\alpha$
∠BOC=β $\angle BOC=\beta$
设 l=x12+x22−−−−−−−−√ $l=\sqrt{x{1}^2+x{2}^2}$
则 C(l,0) $C(l,0)$
A(lcos(α+β),lsin(α+β)) $A(l\cos (\alpha +\beta ),l\sin (\alpha +\beta \left)\right)$
B(lcosβ,lsinβ) $B(l\cos \beta ,l\sin \beta )$
所以
x1=lcosβ $x1=l\cos \beta$
y1=lsinβ $y1=l\sin \beta$
根据和角公式， A(lcosαcosβ−lsinαsinβ,lsinαcosβ+lcosαsinβ) $A(l\cos \alpha \cos \beta -l\sin \alpha \sin \beta ,l\sin \alpha \cos \beta +l\cos \alpha \sin \beta )$
A(x1cosα−y1sinα,x1sinα+y1cosα) $A(x1\cos \alpha -y1\sin \alpha ,x1\sin \alpha +y1\cos \alpha )$
在复平面中时，根据欧拉公式
(x1cosα−y1sinα)+(x1sinα+y1cosα)i=(x1+y1⋅i)(cosα+sinα⋅i)=(x1+y1⋅i)⋅eiα $(x1\cos \alpha -y1\sin \alpha )+(x1\sin \alpha +y1\cos \alpha )i=(x1+y1\cdot i)(\cos \alpha +\sin \alpha \cdot i)=(x1+y1\cdot i)\cdot e^{i\alpha }$

3.复数的ln

A(a,b) $A(a,b)$
B(a2+b2−−−−−−√,0) $B(\sqrt{a^2+b^2},0)$
则 OA→=a+bi $\overrightarrow{OA}=a+bi$
OB→=a2+b2−−−−−−√ $\overrightarrow{OB}=\sqrt{a^2+b^2}$
设 θ=∠AOB $\theta =\angle AOB$
则 OA→=OB→⋅eiθ $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}\cdot e^{i\theta }$
a+bi=a2+b2−−−−−−√⋅eiθ $a+bi=\sqrt{a^2+b^2}\cdot e^{i\theta }$
两边同时ln，因为 θ=arctanba $\theta =arctan\frac{b}{a}$
所以 ln(a+bi)=ln(a2+b2)2+arctanba⋅i $ln(a+bi)=\frac{ln(a^2+b^2)}{2}+arctan\frac{b}{a}\cdot i$
如果有什么地方出现错误，欢迎指正