本文作为对于概率论的复习, 采用概率论的符号体系说明思考过程.

形式化的题面描述

设

为一组互不相同的整数。令 表示所有 个排列构成的样本空间，每个排列 的概率均为

定义随机变量 表示排列 的“陡峭程度”，即

使用期望的线性性化简

由线性期望的性质, 有

注意到对于任意 , 由于排列是均匀随机的, 位置 与 上出现的两个元素具有完全对称性, 因此它们的期望相同. 我们可以设

则有

考虑排列中前两个位置上的数. 对于任意两个不同的数 和 (设 ), 排列中出现有序对 或 的情况均可贡献 .

  • 统计相邻数的所有可能情况:
    • 总情况数：任取两个不同的元素, 共有 种有序选择.
    • 对于任意一对不同的数 (其中 ), 它们可以以 或 的顺序出现在相邻位置上, 故“相邻种数”为 2.
  • 因此, 对于任意一对不同数, 其出现在相邻位置的概率为

进而有

由于对于 满足 , 将无序对 分别考虑两次, 可以写为

对于形如这样求和的处理, 可以很常见地固定一个值取得另一个值. 详见《具体数学》第二章多重求和一节. 具体的技巧是将数组排序做一个转换:

将集合 排序后记作

在这种排序下, 对于任意 , 有

常用技巧告诉我们

因此, 上式可写为

最后得到答案: 得