题目链接: https://www.luogu.org/problemnew/show/P1582
题目描述
一天,CC买了N个容量可以认为是无限大的瓶子,开始时每个瓶子里有1升水。接着~~CC发现瓶子实在太多了,于是他决定保留不超过K个瓶子。每次他选择两个当前含水量相同的瓶子,把一个瓶子的水全部倒进另一个里,然后把空瓶丢弃。(不能丢弃有水的瓶子)
显然在某些情况下CC无法达到目标,比如N=3,K=1。此时CC会重新买一些新的瓶子(新瓶子容量无限,开始时有1升水),以到达目标。
现在CC想知道,最少需要买多少新瓶子才能达到目标呢?
输入格式
一行两个正整数,N,K(1<=N<=2*10^9,K<=1000)。
输出格式
一个非负整数,表示最少需要买多少新瓶子。
输入输出样例
输入 #1
3 1
输出 #1
1
输入 #2
13 2
输出 #2
3
输入 #3
1000000 5
输出 #3
15808
题意:
只有水容量相同的瓶子才可以倒在一起,初始瓶子水为1升,且瓶子无限大,问你给你 N 个瓶子,还需要几个瓶子才能使得最后还剩 K个有水的瓶子。
题解:
先考虑最后剩一个瓶子,那么开始肯定要 个瓶子,最后才可以倒成一个瓶子。如果开始给你N个瓶子,设还需要X个瓶子可以写成: N + X = ,这样如果最后剩一个瓶子,那么可以让N构成最小的的X就是答案。那么最后如果剩 K 个瓶子呢? 可以这样想:最后剩K个瓶子,但可以把这K个瓶子看成独立的一个一个的瓶子,最后又变成最后剩一个瓶子的问题了,公式就可以写成:
N + X = + + ······ + ,所以最后问题变成如何加上最小的X使得 N + X 可以拆成k个2的次方的形式,每个2的次方最终就会倒水倒成1。设 ans = N + X 其实最后就是让ans的二进制的1的个数小于等于 K 就好,因为大于K的话一定无法拆解成 K 个2的次方的形式,肯定多余K个,若果最后的答案的二进制的个数小于K个,那么最后就可以拆了,比如:
N = 13, K = 2 让你求X
N = 1 1 0 1, 先加0 0 0 1 => 1 1 1 0 ,在加 0 0 1 0 => 1 0 0 0 0 每次加最低位,保证尽可能慢慢扩大X(贪心),这时候就剩1个二进制位了,可以拆成 : + 的形式。
补充小知识点:
1、__builtin_popcount(n) (前面俩下划线_)用于求计算n表示成二进制时有多少个1。(不需要任何头文件就可以使用)
2、n & (-n) 代表每次加上一个是最后一个1向前进位的大小,即求lowbit(n)。
AC代码:
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 4 //k为x的二进制中从最低位到高位连续零的长度,返回2^k大小 5 int lowbit(int x){ 6 return x&(-x); 7 } 8 9 int main(){ 10 int n,k,ans=0; 11 cin>>n>>k; 12 while(__builtin_popcount(n)>k){ 13 ans+=lowbit(n); 14 n+=lowbit(n); 15 } 16 cout<<ans<<endl; 17 return 0; 18 }