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题目描述

给定一个长度为 的整数数组 。需要进行恰好 次操作，直到数组中只剩下一个数字。

每次操作固定地针对当前数组的最后两个数 （ 在前， 在后）进行，并二选一执行：

  1. 将 删除，并将 的结果插入到数组末尾。
  2. 将 删除，并将 的结果插入到数组末尾。

请统计在所有可能的操作序列下（即每次操作的两种选择），最终结果为 的方案数各有多少。答案需要对 取模。

解题思路

1. 分析操作结构

操作的顺序是固定的，总是从数组的末尾开始。我们来分析一下 的情况，数组为 ：

  1. 第一次操作: 对 操作，结果为 。数组变为 。
  2. 第二次操作: 对 和第一次的结果 操作，结果为 。数组变为 。
  3. 第三次操作: 对 和第二次的结果 操作，最终结果为 。

这种固定的操作顺序产生了一种嵌套的表达式结构。这启发我们从后向前进行动态规划。关键在于，所有中间和最终结果都在 的范围内。

2. 动态规划设计

我们可以定义一个DP状态来表示对数组的一个后缀进行计算后，所有可能的结果及其对应的方案数。由于结果只可能是 ，DP状态可以是一个大小为10的数组。

  • 状态定义: 是一个大小为10的数组。 表示对数组后缀 进行所有可能的运算后，结果为 的方案数。

  • 状态转移: 我们要计算 ，可以利用 的结果。 存储了对后缀 运算的所有结果的方案数。现在我们引入 ，它将与 中的每一个结果进行一次 + 或 * 的运算。

    具体来说，对于 中的每一个可能的结果 ，它有 种方案。这 种方案都会为 贡献两种新结果：

    1. 加法: 新结果为 。
    2. 乘法: 新结果为 。

    所以，我们可以通过遍历 来计算 ：

    dp[i] = array of size 10, initialized to 0
for j from 0 to 9:
  count = dp[i+1][j]
  if count > 0:
    dp[i][(a_i' + j) % 10] += count
    dp[i][(a_i' * j) % 10] += count

  • 基本情况: 从数组的最后一个元素开始，当只考虑后缀 时，没有操作可进行，所以结果只有一个，就是 本身，方案数为 1。 因此， 是一个大小为10的数组，只有 的值为1。

  • 最终结果: 我们从 向下迭代到 ，最终 中就存储了对整个数组进行运算后，得到 的方案数。

  • 特殊情况 n=1: 当 时，需要进行 次操作，这意味着数组的初始状态即为最终状态。最终结果就是数组中唯一的数 。题目要求统计 的方案数。因此，如果 恰好在此区间内，则结果 的方案数为1；否则，所有我们关心的结果 () 的方案数都为0。

代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <numeric>

using namespace std;

const int MOD = 1000000007;

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);

    int n;
    cin >> n;
    vector<long long> a(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> a[i];
    }

    if (n == 1) {
        vector<int> result(10, 0);
        if (a[0] >= 0 && a[0] <= 9) {
            result[a[0]] = 1;
        }
        for (int i = 0; i < 10; ++i) {
            cout << result[i] << (i == 9 ? "" : " ");
        }
        cout << endl;
        return 0;
    }

    // dp[j] 表示当前后缀运算结果为 j 的方案数
    vector<int> dp(10, 0);

    // 基本情况：处理 a[n-1]
    dp[a[n - 1] % 10] = 1;

    // 从后向前递推
    for (int i = n - 2; i >= 0; --i) {
        vector<int> next_dp(10, 0);
        int current_val = a[i] % 10;
        for (int j = 0; j < 10; ++j) {
            if (dp[j] > 0) {
                // (a[i] + j) mod 10
                int res_add = (current_val + j) % 10;
                next_dp[res_add] = (next_dp[res_add] + dp[j]) % MOD;
                // (a[i] * j) mod 10
                int res_mul = (current_val * j) % 10;
                next_dp[res_mul] = (next_dp[res_mul] + dp[j]) % MOD;
            }
        }
        dp = next_dp;
    }
    
    for (int i = 0; i < 10; ++i) {
        cout << dp[i] << (i == 9 ? "" : " ");
    }
    cout << endl;

    return 0;
}

import java.util.Scanner;

public class Main {
    private static final int MOD = 1_000_000_007;

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        long[] a = new long[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            a[i] = sc.nextLong();
        }

        if (n == 1) {
            int[] result = new int[10];
            if (a[0] >= 0 && a[0] <= 9) {
                result[(int)a[0]] = 1;
            }
            for (int i = 0; i < 10; i++) {
                System.out.print(result[i] + (i == 9 ? "" : " "));
            }
            System.out.println();
            return;
        }

        // dp[j] 表示当前后缀运算结果为 j 的方案数
        int[] dp = new int[10];

        // 基本情况：处理 a[n-1]
        dp[(int)(a[n - 1] % 10)] = 1;

        // 从后向前递推
        for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
            int[] nextDp = new int[10];
            int currentVal = (int)(a[i] % 10);
            for (int j = 0; j < 10; j++) {
                if (dp[j] > 0) {
                    // (a[i] + j) mod 10
                    int resAdd = (currentVal + j) % 10;
                    nextDp[resAdd] = (nextDp[resAdd] + dp[j]) % MOD;
                    // (a[i] * j) mod 10
                    int resMul = (currentVal * j) % 10;
                    nextDp[resMul] = (nextDp[resMul] + dp[j]) % MOD;
                }
            }
            dp = nextDp;
        }
        
        for (int i = 0; i < 10; i++) {
            System.out.print(dp[i] + (i == 9 ? "" : " "));
        }
        System.out.println();
    }
}

import sys

def main():
    MOD = 1_000_000_007
    
    try:
        n_str = sys.stdin.readline()
        if not n_str: return
        n = int(n_str)
        a = list(map(int, sys.stdin.readline().split()))
    except (IOError, ValueError):
        return

    if n == 1:
        result = [0] * 10
        if 0 <= a[0] <= 9:
            result[a[0]] = 1
        print(*result)
        return

    # dp[j] 表示当前后缀运算结果为 j 的方案数
    dp = [0] * 10

    # 基本情况：处理 a[n-1]
    dp[a[n - 1] % 10] = 1
    
    # 从后向前递推
    for i in range(n - 2, -1, -1):
        next_dp = [0] * 10
        current_val = a[i] % 10
        for j in range(10):
            if dp[j] > 0:
                # (a[i] + j) mod 10
                res_add = (current_val + j) % 10
                next_dp[res_add] = (next_dp[res_add] + dp[j]) % MOD
                # (a[i] * j) mod 10
                res_mul = (current_val * j) % 10
                next_dp[res_mul] = (next_dp[res_mul] + dp[j]) % MOD
        dp = next_dp

    print(*dp)


if __name__ == "__main__":
    main()

算法及复杂度

  • 算法: 动态规划
  • 时间复杂度: ，其中 是数组的长度， 是可能的结果数量。外层循环 次，内层循环遍历大小为 的DP数组。总复杂度为 ，可以简化为 。
  • 空间复杂度: 。主要开销是存储输入数组 。DP数组的空间是 ，是常数级别的。