题目难度: 中等
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题目描述
给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。
一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。 两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。
示例 1：
- 输入：text1 = "abcde", text2 = "ace"
- 输出：3
- 解释：最长公共子序列是 "ace" ，它的长度为 3 。
示例 2：
- 输入：text1 = "abc", text2 = "abc"
- 输出：3
- 解释：最长公共子序列是 "abc" ，它的长度为 3 。
示例 3：
- 输入：text1 = "abc", text2 = "def"
- 输出：0
- 解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0 。
提示：
- 1 <= text1.length, text2.length <= 1000
- text1 和 text2 仅由小写英文字符组成。
题目思考
- 针对某个字符对, 以它们为结尾的两个子串的最长公共子序列可以根据什么得出?
解决方案
- 分析题目, 要想求字符串 s1 和 s2 的最长公共子序列, 我们先来考虑各自的最后一个字符
s1[-1]和s2[-1] - 不难发现有四种情况:
- 最长子序列使用了
s1[-1]和 s2 前面某个等于s1[-1]的字符 - 最长子序列使用了
s2[-1]和 s1 前面某个等于s2[-1]的字符 - 最长子序列同时使用了
s1[-1]和s2[-1], 此时需要满足两字符相等 - 最长子序列既没有使用
s1[-1], 也没有使用s2[-1]
- 最长子序列使用了
- 如果我们维护以 s1 下标 i 和 s2 下标 j 结尾的两个子串的最长公共子序列长度, 那么以上四种情况就可以从(i,j-1), (i-1,j)或(i-1,j-1)下标对转移而来, 其最大值就是当前最长公共子序列长度, 这就是典型的动态规划的思想
- 用数学语言来表示: 假设
dp[i][j]代表以 s1 下标 i 和 s2 下标 j 结尾的两个子串的最长公共子序列长度, 那么就有:if s1[i]==s2[j]:dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]+1)
else:dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i-1][j],dp[i-1][j-1])
- 最终结果就是
dp[-1][-1] - 注意如果 i-1 或者 j-1 小于 0, 则对应 dp 值也是 0
- 另外 if 和 else 也可以合并: 用一个变量记录
dp[i-1][j-1], 如果当前字符对相等, 则该变量加 1 - 下面的代码中有详细的注释, 方便大家理解
复杂度
- 时间复杂度
O(N^2): 需要两重循环求 DP 值 - 空间复杂度
O(N^2): 二维 DP 数组的空间消耗
代码
class Solution:
def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:
m, n = len(text1), len(text2)
dp = [[0] * n for _ in range(m)]
for i in range(m):
for j in range(n):
# 情况1: 使用当前j但不使用i
pdp1 = 0 if i == 0 else dp[i - 1][j]
# 情况2: 使用当前i但不使用j
pdp2 = 0 if j == 0 else dp[i][j - 1]
# 情况3/4: 同时使用/不使用当前i和j
pdp3 = 0 if i == 0 or j == 0 else dp[i - 1][j - 1]
# 此时只有当i和j的字符相等时才能同时使用, 此时将公共长度加1
pdp3 += 1 if text1[i] == text2[j] else 0
dp[i][j] = max(pdp1, pdp2, pdp3)
return dp[-1][-1]
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