概念

计算机中的符号数有三种表示方法，即原码、反码和补码。三种表示方法均有符号位和数值位两部分，符号位都是用0表示“正”，用1表示“负”，而数值位，三种表示方法各不相同。

原码 直接将二进制按照正负数的形式翻译成二进制就可以。
反码 反码是原码除符号位，按位取反。
补码 补码等于反码加一。

正数的原、反、补码都相同。

深入理解

我们都知道，任何存储于计算机中的数据本质都是以二进制码的形式存储，而根据冯·诺依曼的计算机体系架构，计算机由运算器、控制器、存储器和输入输出设备组成。而其中运算器中只有加法器，所以计算机无法直接进行减法运算，只能通过加法来间接实现。就如同数学中的减去一个数，可以看成加上这个数的相反数，当然这样做必须有一个前提，那就是要有符号的概念，于是就引入了符号位。

原码，反码，补码的产生过程，就是为了解决，计算机做减法和引入符号位（正号和负号）的问题。

（一）原码

最简单的机器数表示法。最高位为符号位，'1’表示负号，'0’表示正号。

以带符号位的四位二进制为例：

可以发现出现了’0’和’-0’两个0，但是无伤大雅，先忽略。
接下来开始运算：

0001 (1) + 0010 (2) = 0011 (3) --------------------------------正确
0000 (0) + 1000 (-0) = 1000 (-0) ------------------------------正确
0001 (1) + 1001 (-1) = 1010 (-2) ------------------------------错误

可见正数之间的加法通常是不会出错的，而正数与负数或负数与负数相加就会得出奇怪的结果，这都是由于符号位引起的（包括‘0’和‘-0’的问题）。
于是，人们便发明了反码。

（二）反码

正数的反码还是等于原码
负数的反码就是他的原码除符号位外，按位取反。

原码的问题在于一个数加上它的相反数不等于零，于是反码的设计就解决了这一点，干脆将负数除符号位全部取反。

以带符号位的四位二进制为例：

对照上表再次进行运算：

0001 (1) + 0010 (2) = 0011 (3) --------------------------------正确
0000 (0) + 1111 (-0) = 1111 (-0) -------------------------------正确
0001 (1) + 1110 (-1) = 1111 (-0) -------------------------------正确
看起来好像没问题了，再试一下两个负数相加：
1110 (-1) + 1101 (-2) = 1011 (-4) ------------------------------错误
可以看出计算出问题了，是偶然吗？再试一个：
1110 (-1) + 1100 (-3) = 1010 (-5) ------------------------------错误

由此可见虽然解决了一正一负的两个数相加的问题，却还有两个负数相加的问题。
但是实际上，两个负数相加出错其实问题不大。我们的目的是解决做减法的问题，把减法当成加法来算。

两个正数相加和两个负数相加，其实都是加法问题，只是有无符号位罢了。而正数+负数才是真正的减法问题。

也就是说只要正数+负数不会出错，那么就没问题了。负数加负数出错没关系的，负数的本质就是正数加上一个符号位而已。

（三）补码

正数的补码等于他的原码
负数的补码等于反码+1。
( 这只是一种算补码的方式，多数书对于补码就是这句话 )

其实上面那几句话，都只是补码的求法，而不是补码的定义。很多人以为求补码就要先求反码，其实并不是。
在《计算机组成原理》中，补码的另一种算法是：

负数的补码等于他的原码自低位向高位，尾数的第一个‘1’及其右边的‘0’保持不变，左边的各位按位取反，符号位不变。

这句话告诉我们那句‘反码+1’并不是必须的。

补码再深入

将钟表想象成是一个1位的12进制数. 如果当前时间是6点, 我希望将时间设置成4点, 需要怎么做呢?我们可以:

1. 往回拨2个小时: 6 - 2 = 4

2. 往前拨10个小时: (6 + 10) mod 12 = 4

3. 往前拨10+12=22个小时: (6+22) mod 12 =4

2、3方法中的mod是指取模操作，16 mod 12 = 4 即用16除以12后的余数是4。所以钟表往回拨（减法）的结果可以用往前拨（加法）替代。

首先介绍一个数学中相关的概念: 同余

同余

两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作 a ≡ b (mod m)，读作 a 与 b 关于模 m 同余。

举例说明:

4 mod 12 = 4

16 mod 12 = 4

28 mod 12 = 4

所以4，16，28关于模 12 同余。

负数取模

正数进行mod运算是很简单的， 但是负数呢？
下面是关于mod运算的数学定义：

x mod y = x - y⌊ x / y ⌋, for y ≠ 0
符号⌊ ⌋为 取下界 符号

上面公式的意思是:
x mod y等于 x 减去 y 乘上 x与y的商的下界.

以 -3 mod 2 举例:
-3 mod 2

= -3 - 2x⌊ -3 / 2 ⌋

= -3 - 2x⌊ -1.5 ⌋

= -3 - 2x(-2)

= -3 + 4 = 1

所以:

(-2) mod 12 = 12-2=10

(-4) mod 12 = 12-4 = 8

(-5) mod 12 = 12 - 5 = 7
再回到时钟的问题上:

回拨2小时 = 前拨10小时

回拨4小时 = 前拨8小时

回拨5小时= 前拨7小时

注意，这里发现的规律！

结合上面学到的同余的概念，实际上：

(-2) mod 12 = 10

10 mod 12 = 10

-2与10是同余的.

(-4) mod 12 = 8

8 mod 12 = 8

-4与8是同余的.

距离成功越来越近了. 要实现用正数替代负数, 只需要运用同余数的两个定理:

反身性:

a ≡ a (mod m)

这个定理是很显而易见的.

线性运算定理:

如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m) 那么:

(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)

(2)a * c ≡ b * d (mod m)

所以:

7 ≡ 7 (mod 12)

(-2) ≡ 10 (mod 12)

7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)

减去一个数，对于数制有限制，有溢出的运算（模运算）来说，相当于加上这个数的同余数

例子

先不引入符号位

0110（6）- 0010（2）

由于减去一个数，对于数制有限制，有溢出的运算（模运算）来说，相当于加上这个数的同余数，那么这个数是多少呢？从前面的运算可以看出这个数与减数相加正好等于模。
四位二进制数的模即是其最大容量2^4 = 16 = 10000B，于是2的同余数等于 10000-0010 = 1110（14），于是原式等于：

0110（6）- 0010（2） = 0110（6）+ 1110（14） = 10100（20）

此时结果为10100，由于是四位二进制数，最多只能存放4位，所以取低四位0100（4），正好是想要的结果。

减去2，从另外一个角度来说，也是加上（-2）。即加上（-2）和加上14其实得到的二进制结果除了进位位，结果是一样的。

如果我们把1110（14）的最高位看作符号位后就是（-2）的补码，这可能也是为什么负数的符号位是‘1’而不是‘0’。

在有符号位的四位二进制数中，能表示的只有‘-8~7’，而无符号位数（14）的作用和有符号数（-2）的作用效果其实是一样的。

带符号位的四位二进制补码：

现在补码也不存在（-0）了，1000表示（-8）。

补码还可以这样画：

这也解释了当int（或其它类型）中存的数据大于自身所能容纳范围时，变成负数的现象。