BZOJ1296: [SCOI2009]粉刷匠 DP

Description

windy有 N 条木板需要被粉刷。每条木板被分为 M 个格子。每个格子要被刷成红色或蓝色。 windy每次粉刷，只能选择一条木板上一段连续的格子，然后涂上一种颜色。每个格子最多只能被粉刷一次。如果windy只能粉刷 T 次，他最多能正确粉刷多少格子？一个格子如果未被粉刷或者被粉刷错颜色，就算错误粉刷。

Input

输入文件paint.in第一行包含三个整数，N M T。接下来有N行，每行一个长度为M的字符串，'0'表示红色，'1'表示蓝色。

Output

输出文件paint.out包含一个整数，最多能正确粉刷的格子数。

Sample Input

3 6 3
111111
000000
001100

Sample Output

HINT

30%的数据，满足 1 <= N,M <= 10 ； 0 <= T <= 100 。 100%的数据，满足 1 <= N,M <= 50 ； 0 <= T <= 2500 。

Solution

啊..感觉这个dp不难推啊。。就是推不出来

设$f[i][j]$表示前i条刷j次能刷对的格子数

$g[i][j][k]$表示第i行刷了j次前k个能刷的最大格子数

先把g算出来，然后用来转移$f[i][j]$

g的转移：

c数组为前缀和，c[i][j]表示第i行1~j的前缀和（这里用来处理两种颜色）

$$g[i][j][k]=max(g[i][j][k],g[i][j-1][l]+max(c[i][k]-c[i][l],k-l-c[i][k]+c[i][l]))$$

就是找个转移点然后涂蓝色还是涂红色取个max这样，效率$O(n^4)$

f的转移：

$$f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k]+g[i][k][m])$$

有了g这个就很好推了

我就没有想到用个g来优化转移，死活想不出来

答案就扫一遍求个max就好

总复杂度是$O(n^4+n^2t)$

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std ;

#define N 2510

int a[ 60 ][ 60 ] , c[ 60 ][ 60 ] ;
int n , m , t ;
int f[ 60 ][ N ] ;
//前i条刷j次能刷对的格子数
int g[ 60 ][ 60 ][ 60 ] ; 
//第i行刷了j次前k个能刷的最大格子数 

int main() {
    scanf( "%d%d%d" , &n , &m , &t ) ;
    for( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) {
        char ch[ 100 ] ;
        scanf( "%s" , ch+1 ) ;
        for( int j = 1 ; j <= m ; j ++ ) {
            c[ i ][ j ] = c[ i ][ j - 1 ] + ( ch[ j ] ^ '0' ) ;
        }
    }
    for( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) {
        for( int j = 1 ; j <= m ; j ++ ) {
            for( int k = 1 ; k <= m ; k ++ ) {
                for( int l = j - 1 ; l < k ; l ++ ) {
                    g[i][j][k]=max(g[i][j][k],g[i][j-1][l]+max(c[i][k]-c[i][l],k-l-c[i][k]+c[i][l]));
                }
            }
        }
    }
    for( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) {
        for( int j = 1 ; j <= t ; j ++ ) {
            for( int k = 0 ; k <= min( j , m ) ; k ++ ) {
                f[ i ][ j ] = max( f[ i ][ j ] , f[ i - 1 ][ j - k ] + g[ i ][ k ][ m ] ) ;
            }
        }
    }
    int ans = 0 ;
    for( int i = 1 ; i <= t ; i ++ ) ans = max( ans , f[ n ][ i ] ) ;
    printf( "%d\n" , ans ) ;
    return 0 ;
}