笛卡尔树

题意,如果两个序列中所有子区间的最小值的下标都相等的话,我们就认为他们是这两个序列是相等的。

给你两个长度为  的序列,找到最大下标  使得两个序列的  区间相等。

1、首先考虑二分,那么我们如何判断这个区间是否相等?

2、线段树 or RMQ 找区间最小值,判断一下下标是否相等,如果不相等,直接return false;

3、如果相等呢?我们考虑在一个区间中取数。

    a、两个数字都在最小值的左边/右边,那么我们只需要对左区间/右区间递归。

    b、两个数字一个不大于最小值,一个不小于最小值,因为最小值一定是我们之前找到的最小值,所以这种取法显然成立。

4、如果区间长度为1,直接return true,防止爆栈

所以我们找的最小值就是下图

 

虽然这样可以过这个题,但似乎并不是最好的时间复杂度。

那么我们重新考虑一下,递归找最小值的过程,似乎和笛卡尔树建树差不多?并且笛卡尔树的建树似乎是  ,也就是说这个题复杂度可以优化到 

 

但出题人似乎给出了  的做法,特意去学了一手,下面是自己口胡的,可能会有点错误

(先解释一下使用到的名词    极右端点:右儿子的右儿子的右儿子……     极右链:右儿子和右儿子的右儿子和……组成的链)

1、笛卡尔树,每次插入一个元素大概可以分为两种情况:

    a、这个元素的值大于极右端点,那么他就直接放在极右端点的右儿子上,并且极右端点变成这个节点。(此时极右链长度+1

(如上图,当我们插入18的时候,由于他大于15,所以他直接接在15的右儿子上)

    b、这个元素的值小于极右端点,那么我们沿着极右端点找到第一个小于他的点(这个点在极右链上),并且取代他成为第一个小于他的点的右儿子,第一个小于他的点只前的右儿子就变成这个节点的左儿子。(此时极右链长度-n 

(如上图,最后一个插入5的时候,依次找了 18 15 10 8 1,知道找到1,才发现了一个比5小的数字,所以此时,5变成1的有节点,之前的右节点变成5的左节点,并且此时,笛卡尔树的极右链长度是 1 5,长度为2)

2、总的来说,如果插入这个节点之后,笛卡尔树的极右链的长度还是不变的话,说明他们插入一个节点后,两个笛卡尔树的结构还是相等的。

3、每次插入一个节点,节点位置不同会导致极右链的长度也不同,并且他们是一对一的映射关系。

4、所以可以直接遍历建树,如果在某次插入节点后两个笛卡尔树的极右链的长度不同,说明加入的这个点不满足题意,所以答案是这个节点的下标减一。

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遍历建树(只维护极右链),O(n)做法:

语言:C++14 代码长度:570 运行时间: 156 ms 占用内存:2156K

 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[100005], b[100005];
int pa[100005], pb[100005];
int main()
{
	int n;
	while (scanf("%d", &n) > 0) 
	{
		int ans = n;
		int cnta = 0, cntb = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			scanf("%d", &a[i]);
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			scanf("%d", &b[i]);
		for (int i = 1; i <= n; i++) 
		{
			while (cnta && pa[cnta] > a[i])
				cnta--;
			pa[++cnta] = a[i];

			while (cntb && pb[cntb] > b[i])
				cntb--;
			pb[++cntb] = b[i];

			if (cnta != cntb) 
			{
				ans = i - 1;
				break;
			}
		}
		printf("%d\n", ans);
	}
}

二分+递归+线段树查最小值下标是否相等做法:

语言:C++ 代码长度:2357 运行时间: 727 ms 占用内存:9436K

#include <bits/stdc++.h>
#define lson left,mid,k<<1
#define rson mid+1,right,k<<1|1
#define imid int mid=(left+right)/2;
#define ll long long
using namespace std;
struct node
{
    int l;
    int r;
    int minn;
    int index;
}que1[100005 * 4], que2[100005 * 4];
int a[100005];
int b[100005];
int n, ql, qr, val;
void up(int k)
{
    if (que1[k << 1].minn < que1[k << 1 | 1].minn)
    {
        que1[k].minn = que1[k << 1].minn;
        que1[k].index = que1[k << 1].index;
    }
    else
    {
        que1[k].minn = que1[k << 1 | 1].minn;
        que1[k].index = que1[k << 1 | 1].index;
    }
    if (que2[k << 1].minn < que2[k << 1 | 1].minn)
    {
        que2[k].minn = que2[k << 1].minn;
        que2[k].index = que2[k << 1].index;
    }
    else
    {
        que2[k].minn = que2[k << 1 | 1].minn;
        que2[k].index = que2[k << 1 | 1].index;
    }
}
void build(int left = 1, int right = n, int k = 1)
{
    que1[k].l = left;
    que1[k].r = right;
    que2[k].l = left;
    que2[k].r = right;
    if (left == right)
    {
        que1[k].minn = a[left];
        que1[k].index = left;
        que2[k].minn = b[left];
        que2[k].index = left;
        return;
    }
    imid;
    build(lson);
    build(rson);
    up(k);
}
struct in
{
    int num;
    int index;
};
in query1(int left = 1, int right = n, int k = 1)
{
    if (qr < left || right < ql)
        return in{ 999999,0 };
    if (ql <= left && right <= qr)
        return in{ que1[k].minn,que1[k].index };
    imid;
    in q = query1(lson);
    in w = query1(rson);
    if (q.num < w.num)
        return q;
    return w;
}
in query2(int left = 1, int right = n, int k = 1)
{
    if (qr < left || right < ql)
        return in{ 999999,0 };
    if (ql <= left && right <= qr)
        return in{ que2[k].minn,que2[k].index };
    imid;
    in q = query2(lson);
    in w = query2(rson);
    if (q.num < w.num)
        return q;
    return w;
}
bool judge(int left, int right)
{
    if (left >= right)
        return true;
    int indexa = -1, indexb = -1;
    ql = left; qr = right;
    indexa = query1().index;
    indexb = query2().index;
    if (indexa != indexb)
        return false;
    bool ans = false;
    if (judge(left, indexa - 1) && judge(indexa + 1, right))
        ans = true;
    return ans;
}
int main()
{
    while (scanf("%d", &n) > 0)
    {
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            scanf("%d", &a[i]);
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            scanf("%d", &b[i]);
        }
        build();
        int l = 1, r = n;
        while (l + 1 < r)
        {
            int mid = (l + r) / 2;
            if (judge(1, mid))
                l = mid;
            else
                r = mid;
        }
        if (judge(1, r))
            l = r;
        printf("%d\n", l);
    }
}