void gcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y) { if(!b) { d=a; x=1; y=0; } else { gcd(b,a%b,d,y,x); y-=x*(a/b); } }
扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面：
（1）求解不定方程；
（2）求解模线性方程（线性同余方程）；
（3）求解模的逆元；
（1）使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法：
对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。
上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后，p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足：
p = p0 + b/Gcd(p, q) * t
q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)
至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。
在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，应该是得到p * a+q * b = c的一组解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，
p * a+q * b = c的其他整数解满足：
bool judge(int a,int b,int c,int &x,int &y) { int d=gcd(a,b,x,y); if(c%d) return false; int k=c/d; x*=k; y*=k; //求得的只是其中一组解 return true; }
(2)用扩展欧几里德算法求解模线性方程的方法：
同余方程 ax≡b (mod n)对于未知数 x 有解，当且仅当 gcd(a,n) | b。且方程有解时，方程有 gcd(a,n) 个解。
求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)
设 d= gcd(a,n)，假如整数 x 和 y，满足 d= ax+ ny(用扩展欧几里德得出)。如果 d| b，则方程
a* x0+ n* y0= d， 方程两边乘以 b/ d，(因为 d|b，所以能够整除)，得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。
所以 x= x0* b/ d，y= y0* b/ d 为 ax+ ny= b 的一个解，所以 x= x0* b/ d 为 ax= b (mod n ) 的解。
ax≡b (mod n)的一个解为 x0= x* (b/ d ) mod n，且方程的 d 个解分别为 xi= (x0+ i* (n/ d ))mod n {i= 0... d-1}。
设ans=x*(b/d),s=n/d;
方程ax≡b (mod n)的最小整数解为：(ans%s+s)%s;
a*dx就是a的倍数，同时也是n的倍数，即a*dx是a 和 n的公倍数.为了求出dx,我们应该求出a 和 n的最小公倍数,此时对应的dx是最小的.
设a 和 n的最大公约数为d,那么a 和 n 的最小公倍数为(a*n)/d.
即a*dx = a*n/d;
所以dx = n/d.
因此解之间的间隔就求出来了.
bool modular_linear_equation(int a,int b,int n) { int x,y,x0,i; int d=gcd(a,n,x,y); if(b%d) return false; x0=x*(b/d)%n; //特解 for(i=1;i<d;i++) printf("%d\n",(x0+i*(n/d))%n); return true; }
（3）用欧几里德算法求模的逆元：
同余方程ax≡b (mod n)，如果 gcd(a,n)== 1，则方程只有唯一解。
在这种情况下，如果 b== 1，同余方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。
这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。
对于同余方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程
ax+ ny= 1，x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出，原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。
京公网安备 11010502036488号