【牛客7502 D行列式】
题意
求一个n阶行列式的值,行列式第行第
列的元素是
,特别的
时,需要额外加上一个x
a和b是两个给定的长度为n的数组,x是一个给定的数。如图
题解
这道题最主要的就是关于这个行列式的化简用到了一个小技巧:升阶法
来源:我是从这里学到的!猪真是个好地方针不戳针不戳
具体方法是在最左边和最上面加一行一列,让n阶行列式变为n+1阶行列式,第一列除第一行的位置其他全为0,第一行除第一列的位置其他全为b[1]~b[n],如图
这样升阶后,把第一行分别乘上加到第
行去
,这样一来行列式除第一行第一列的部分就变成了主对角线全为x,其他部分全为0,如图
这样就转化成了一种叫做箭型行列式的行列式(只有第一行第一列和主对角线元素不为0,像一个箭头),这种行列式的解法就是把第2列~第n+1列,每一列乘上加到第一列去
这样行列式的第一列除第一行就全为0了,第一列第一行的元素从原来的1,变为了,,如图
然后按第一列展开,行列式的值即为。
因为除去第一行第一列后的行列式是一个上(下)三角行列式,所以行列式的值为主对角元素之和
坑点
x=0时,显而易见由于主对角线上没有多余的数x加上去,这样就使得任意两行元素都是存在倍数关系的,根据行列式的性质,两行成倍数的行列式值为0,显然x=0时,行列式的值为0.
但是需要特别注意,我们说的两行成比例,那也得有两行才行,n=1,x=0时行列式的值不为0,而是等于唯一的元素的值.
说明
菜鸡没有找到markdown怎么打出行列式左右两竖线,就用矩阵的方括号代替了,望各位看博客的聚聚们见谅!
Code
/**************************** * Author : W.A.R * * Date : 2020-10-31-19:12 * ****************************/ /* */ #include<stdio.h> #include<string.h> #include<math.h> #include<iostream> #include<algorithm> #include<queue> #include<map> #include<stack> #include<string> #include<set> #define IOS ios::sync_with_stdio(false) #define show(x) std:: cerr << #x << " = " << x << std::endl; #define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a)) #define Rint register int using namespace std; typedef long long ll; const int maxn=1e6+10; const int maxm=2e6+10; const ll mod=1e9+7; const double PI=acos(-1.0); const double eps=1e-7; ll qpow(ll a,ll n){a%=mod;ll ans=1;while(n){if(n%2)ans=ans*a%mod;n/=2;a=a*a%mod;}return ans;} ll a[maxn],b[maxn]; int main(){ ll n,x; while(scanf("%lld%lld",&n,&x)!=EOF){ ll tmp=qpow(x,n-1),ans=tmp*x%mod,tt=0; for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]); for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&b[i]); for(int i=1;i<=n;i++)tt=(tt+a[i]*b[i]%mod)%mod; ans=(ans+tmp*tt%mod)%mod; printf("%lld\n",ans); } return 0; }