树与二叉树学习小结

对于数据结构的内容,这里不再对栈与队列进行说明。我们先来说一下树与二叉树的内容(概念性的东西有点多):

树的有关概念:

一棵树是由n(n>0)个元素组成的有限集合,其中:
(1)每个元素称为结点(node);
(2)有一个特定的结点,称为根结点或树根(root);
(3)除根结点外,其余结点能分成m(m>=0)个互不相交的有限集合T0,T1,T2,……Tm-1。其中的每个子集又都是一棵树,这些集合称为这棵树的子树。
一个结点的子树个数,称为这个结点的度;度为0的结点称为叶结点;度不为0的结点称为分支结点;根以外的分支结点又称为内部结点,树中各结点的度的最大值称为这棵树的度。
定义一棵树的根结点的层次(level)为1,其它结点的层次等于它的父结点层次加1。一棵树中所有的结点的层次的最大值称为树的深度(depth)。
在用图形表示的树型结构中,对 两个用线段(称为树枝)连接的相关联的结点,称上端结点为下端结点的 父结点,称下端结点为上端结点的 子结点。称同一个父结点的多个子结点为 兄弟结点。称 从根结点到某个子结点所经过的所有结点为这个子结点的祖先。称以某个结点为根的子树中的任一结点都是该结点的子孙。
对于树中任意两个不同的结点,如果从一个结点出发,自上而下沿着树中连着结点的线段能到达另一结点,称它们之间存在着一条路径。可用路径所经过的结点序列表示路径,路径的长度等于路径上的结点个数减1。
森林(forest)是m(m>=0)棵互不相交的树的集合。

树的储存结构:

有如下几种方式:
一、数组(父亲表示法):一个数据域,一个指针域(指向父节点),利用了树中除根结点外每个结点都有唯一的父结点这个性质。很容易找到树根,但找孩子时需要遍历整个线性表。
二、树形单链表结构(孩子表示法):每个结点包括一个数据域和一个指针域(指向若干子结点),树的结点仅存放字符,只能从根(父)结点遍历到子结点,不能从某个子结点返回到它的父结点。
三、树形双链表结构(父亲孩子表示法):每个结点包括一个数据域和二个指针域(一个指向若干子结点,一个指向父结点)这样就能综合前两种方法的功能。
例:

	const int m = 10;           //树的度
	typedef struct node;
	typedef node *tree; //声明tree是指向node的指针类型
	struct node
	{
	    char data;             //数据域
	    tree child[m];          //指针域,指向若干孩子结点
	    tree father;            //指针域,指向父亲结点
	};
	tree t;

四、二叉树型表示法(孩子兄弟表示法)(双链表表示结构):每个结点包括一个数据域和二个指针域(一个指向该结点的第一个孩子结点,一个指向该结点的下一个兄弟结点)。

char data;            //数据域
tree firstchild, next;    //指针域,分别指向第一个孩子结点和下一个兄弟结点

树的遍历:

一、先序(根)遍历:先访问根结点,再从左到右按照先序思想遍历各棵子树。(与广搜类似)
二、后序(根)遍历:先从左到右遍历各棵子树,再访问根结点。
三、层次遍历:按层次从小到大逐个访问,同一层次按照从左到右的次序。

下面再说一下二叉树的概念:

二叉树基本概念:

二叉树(binary tree,简写成BT)是一种特殊的树型结构,它的度数为2的树。即二叉树的每个结点最多有两个子结点。每个结点的子结点分别称为左孩子、右孩子,它的两棵子树分别称为左子树、右子树。
二叉树有下面五种基本形态

二叉树一定是有序的,通过它的左、右子树关系体现出来。

一棵深度为k且有2k–1个结点的二叉树称为满二叉树。这种树的特点是每层上的结点数都是最大结点数。当对满二叉树进行有序排列后可以引入完全二叉树的概念。

关于二叉树的一些具体性质:

一、在二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点(i>=1)。(这里不作证明)
二、深度为k的二叉树至多有2^k –1个结点(k>=1)。(这里不作证明)
三、对任意一棵二叉树,如果其叶结点数为n0,度为2的结点数为n2,则一定满足:n0=n2+1。

证明:因为二叉树中所有结点的度数均不大于2,所以结点总数(记为n)应等于0度结点数n0、1度结点n1和2度结点数n2之和:
n=no+n1+n2 ……(式子1)
另一方面,1度结点有一个孩子,2度结点有两个孩子,故二叉树中孩子结点总数是:nl+2n2
树中只有根结点不是任何结点的孩子,故二叉树中的结点总数又可表示为:
n=n1+2n2+1 ……(式子2)
由式子1和式子2得到:
no=n2+1
四、具有n个结点的完全二叉树的深度为floor(log2n)+1
五、对于一棵n个结点的完全二叉树,对任一个结点(编号为i),有:
①如果i=1,则结点i为根,无父结点;如果i>1,则其父结点编号为i/2。
如果2 * i>n,则结点i无左孩子(当然也无右孩子,即结点i为叶结点);否则左孩子编号为2 * i。
②如果2*i+1>n,则结点i无右孩子;否则右孩子编号为2 * i+1。

二叉树的操作:

最重要的是遍历二叉树,但基础是建一棵二叉树、插入一个结点到二叉树中、删除结点或子树等。
所谓二叉树的遍历是指按一定的规律和次序访问树中的各个结点,而且每个结点仅被访问一次。“访问”的含义很广,可以是对结点作各种处理,如输出结点的信息等。遍历一般按照从左到右的顺序,共有3种遍历方法,先(根)序遍历,中(根)序遍历,后(根)序遍历。
对于二叉树的储存结构与对二叉树的具体操作将后续写到。