糖水定理不成立？

689 浏览 0 回复 2020-05-21

Bernard5

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求证对于

$\frac{a_1}{b_1}>\frac{a_2}{b_2}$

可能存在

$\frac{x+a_1}{y+b_1}<\frac{x+a_2}{y+b_2}$

证明：

因为

$a_1,a_2,b_1,b_2>0$

所以有

$a_1b_2>a_2b_1$

and

$(x+a_1)(y+b_2)<(x+a_2)(y+b_1)$

$a_1y+b_2x+a_1b_2<a_2y+b_1x+a_2b_1$

$(a_1-a_2)y+a_1b_2-a_2b_1<(b_1-b_2)x$

$\forall y<x , a_1<b_1 , a_2<b_2$

在 $\frac{a_1}{b_1}>\frac{a_2}{b_2}$ 下

有

$\frac{x+a_1}{y+b_1}<\frac{x+a_2}{y+b_2}$

eg.当 $a_1=2，b_1=3，a_2=1，b_2=2$ 时，化简得 $y+1<x$

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