算法--爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：

输入： 2

输出： 2

解释： 有两种方法可以爬到楼顶。

1.  1 阶 + 1 阶

2.  2 阶

 

示例 2：

输入： 3

输出： 3

解释： 有三种方法可以爬到楼顶。

1.  1 阶 + 1 阶 + 1 阶

2.  1 阶 + 2 阶

3.  2 阶 + 1 阶

public class Solution {
    public int JumpFloor(int target) {
        if(target < 1){
            return 0;
        }
        if(target ==1){
            return 1;
        }
        if(target ==2){
            return 2;
        }
        int[] dp = new int[target];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 2;
        for(int i =2;i<target;i++){
            dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2];
        }
        return dp[target-1];
    }
}

暴力法

在暴力法中，我们将会把所有可能爬的阶数进行组合，也就是 1 和 2 。而在每一步中我们都会继续调用 climbStairsclimbStairs 这个函数模拟爬 11 阶和 22 阶的情形，并返回两个函数的返回值之和。

climbStairs(i,n)=(i + 1, n) + climbStairs(i + 2, n)

climbStairs(i,n)=(i+1,n)+climbStairs(i+2,n)

其中 i 定义了当前阶数，而 n 定义了目标阶数。
public class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        climb_Stairs(0, n);
    }
    public int climb_Stairs(int i, int n) {
        if (i > n) {
            return 0;
        }
        if (i == n) {
            return 1;
        }
        return climb_Stairs(i + 1, n) + climb_Stairs(i + 2, n);
    }
}
时间复杂度：O(2^n)，树形递归的大小为 2^n 。

动态规划

不难发现，这个问题可以被分解为一些包含最优子结构的子问题，即它的最优解可以从其子问题的最优解来有效地构建，我们可以使用动态规划来解决这一问题。

一种常见的动态规划***选择从结果开始倒推。假设到达第n级的方法数为n，那么我们反过来看看，第n级倒推一步的情况是什么呢？

有可能是从第n-1级上了一阶到第n级，也可能是从第n-2级上了两阶。

在到达第n-1级的所有办法的基础上，每种办法再上一阶即到。

或者在到达第n-2级的所有办法的基础上，每种办法一次再上2阶即到。

加起来就是到达第n级的所有办法。

(有人问如果从第n-2级上一阶再上一阶呢？那种方法其实属于从n-1级上一阶到第n级。)

因此，到第n-1级的办法数 + 到第n-2级的办法数 = 到第n级的办法数
 

第 i 阶可以由以下两种方法得到：

在第 (i-1) 阶后向上爬一阶。

在第 (i-2)阶后向上爬 2 阶。

所以到达第 ii 阶的方法总数就是到第 (i-1)阶和第 (i-2)阶的方法数之和。

令 dp[i] 表示能到达第 i 阶的方法总数：

dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]

public static int climbStairs(int n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    int[] dp = new int[n + 1];
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    return dp[n];
}

斐波那契数

Fib(n)=Fib(n−1)+Fib(n−2)

现在我们必须找出以 11 和 22 作为第一项和第二项的斐波那契数列中的第 nn 个数，也就是说 Fib(1)=1Fib(1)=1 且 Fib(2)=2Fib(2)=2。

public class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if (n == 1) {
            return 1;
        }
        int first = 1;
        int second = 2;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            int third = first + second;
            first = second;
            second = third;
        }
        return second;
    }
}