剑指 Offer 42. 连续子数组的最大和

题目描述

输入一个整型数组，数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组。求所有子数组的和的最大值。要求时间复杂度为O(n)。 

输入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]  输出: 6  解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

思路

新建一个dp数组，维护当前位置之前的连续子数组的最大和，若当前元素 大于 ，就将该位置对应的dp数组元素更新为当前元素，同时更新最大值。
状态转移方程为dp[i] = max(nums[i]+dp[i-1], nums[i]); max(dp[i]);

实现代码 

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int length = nums.length;
        int[] dp = new int[length];
        dp[0] = nums[0];
        int max = dp[0];
        for(int i = 1; i < length; i++){
            dp[i] = Math.max(nums[i]+dp[i-1], nums[i]);
            max = Math.max(max, dp[i]);
        }
        return max;
    }
}

优化存储

不必维护每个位置之前的连续子数组的最大和，只需维护当前位置前一个位置的最大和即可，以此优化存储
class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int sum = nums[0];
        int max = sum;
        for(int i = 1; i < nums.length; i++){
            sum = Math.max(sum + nums[i], nums[i]);
            max = Math.max(max, sum);
        }
        return max;
    }
}

剑指 Offer 47. 礼物的最大价值

题目描述

在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？
输入: [[1,3,1],
      [1,5,1],
      [4,2,1]]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物
题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/li-wu-de-zui-da-jie-zhi-lcof

思路

动态规划，新建一个dp数组，维护从左上角到达该位置的最大值；
先处理左边界和上边界的值，分别从左往右、从上往下累加前一个数，得到初始的dp数组
从dp[1][1]开始，因为每次向右或者向下移动一格，所以到达当前位置的最大值为原值加上与其相邻的左边和上边的最大值，即

实现代码 

class Solution {
    public int maxValue(int[][] grid) {
        int m = grid.length;
        int n = grid[0].length;
        int[][] dp = new int[m][n];
        dp[0][0] = grid[0][0];
        for(int i = 1; i < n; i++){
            dp[0][i] = grid[0][i] + dp[0][i-1];
        }
        for(int i = 1; i < m; i++){
            dp[i][0] = grid[i][0] + dp[i-1][0];
        }
        for(int i = 1; i < m; i++){
            for(int j = 1; j < n; j++){
                dp[i][j] = grid[i][j] + Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
}

优化

优化处理

可以将dp数组的宽高都+1，不用特殊判断最上边和最左边，dp数组当前位置值等于其左边或上边的最大值加上grid中对应位置的原值 
class Solution {
    public int maxValue(int[][] grid) {
        if(grid == null || grid.length == 0){
            return 0;
        }
        int m = grid.length;
        int n = grid[0].length;
        int[][] dp = new int[m+1][n+1]; //宽高都+1，不用特殊判断最上边和最左边
        for(int i = 0; i < m; i++){
            for(int j = 0; j < n; j++){
                dp[i+1][j+1] = Math.max(dp[i+1][j], dp[i][j+1]) + grid[i][j];
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}

优化存储

用滚动数组的技巧把空间复杂度优化成O(N) 
 //二维数组的形式如下，其实一维数组遍历完每一行的结果也与二维数组每一行的结果一样，只是上一行的结果被下一行覆盖掉了
 grid[m][n]  dp[m+1][n+1]
             [0,0,0,0]
 [1,3,1]     [0,1,4,5]
 [1,5,1]     [0,2,9,10]
 [4,2,1]     [0,6,11,12]
  • 用二维数组可以记录每个位置从左上角到该位置的最大值，最终的结果是要求到达右下角的最大值，所以其实不用都维护每个位置的值
  • 完全可以使用一个一维数组来维护上一行的值，当前行的值是由同一行的前一个值和同一列的上一个值决定的
  • 完全可以从该一维数组中获取到需要的值来决定当前位置的值
  • 如当前位置的值为dp[j]，则同一行的前一个值为dp[j-1]，同一列的上一个值为dp[j]，该dp[j]为上一行的值，当前行的dp[j]会将其覆盖，为下一行的调用做准备
  • 这样每一行的值就会在这个一维数组之中滚动，以此优化存储 

class Solution {
    public int maxValue(int[][] grid) {
        int m = grid.length;
        int n = grid[0].length;
        int[] dp = new int[n+1]; //n+1，不用特殊处理边界值，所以实际值从下标1开始存放
        for(int i = 1; i <= m; i++){
            for(int j = 1; j <= n; j++){
                dp[j] = grid[i-1][j-1] + Math.max(dp[j], dp[j-1]);
            }
        }
        return dp[n];
    }
}