Eratosthenes筛法（埃氏筛）

时间复杂度：O(nlogn)

思路

代码

const int N=1e6+10; //表长
int prime[N],cnt=0; //prime数组存放所以素数，cnt为素数个数
bool st[N]; //false为素数
void get_prime(int n){
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!st[i]){
            prime[cnt++]=i; //把素数i存到prime数组中
            for(int j=i+i;j<=n;j+=i) st[j]=true; //筛去所有i的倍数
        }
    }
}

欧拉筛(线性筛)

时间复杂度：O(n)

const int N=1e6+10; //表长
int prime[N],cnt=0; //prime数组存放所以素数，cnt为素数个数
bool st[N]; //false为素数
void get_prime(int n){
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!st[i]) prime[cnt++]=i; //把素数i存到prime数组中
        for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<=n;j++){
            st[i*prime[j]]=true; //找到的素数的倍数不访问
            if(i%prime[j]==0) break; //关键代码
        }
    }
}

欧拉筛思想的核心是要保证的是每个合数只被这个合数最小的质因子筛除，而且只筛一次，没有重复筛除，这里就需要用到这行关键代码if(i%prime[j]==0) break;。

欧拉筛的难点就在于对if (i % prime[j] == 0)这步的理解，当i是prime[j]的整数倍时，记 m = i / prime[j]，那么 i * prime[j+1] 就可以变为 (m * prime[j+1]) * prime[j]，这说明 i * prime[j+1] 是 prime[j] 的整数倍，不需要现在筛出，因为在之后筛除过程中i * prime[j+1] 这个合数一定会被prime[j]筛除，prime[j]之后的所有素数同理，所以break跳出循环。

Meisell-Lehmer算法

时间复杂度：O(\(n^{\frac{2}{3}}\))

题目链接：传送门

题意：求1e11内素数个数

思路：Meisell-Lehmer算法是计算超大范围内素数个数的一种算法，原理：传送门

代码

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<iostream>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 5e6+2;
bool np[N];
int prime[N], pi[N];
int getprime() {
    int cnt = 0;
    np[0] = np[1] = true;
    pi[0] = pi[1] = 0;
    for(int i = 2; i < N; ++i) {
        if(!np[i]) prime[++cnt] = i;
        pi[i] = cnt;
        for(int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] < N; ++j) {
            np[i * prime[j]] = true;
            if(i % prime[j] == 0)   break;
        }
    }
    return cnt;
}
const int M = 2;//为了减小内存可以不过是质数
const int PM = 2 * 3 * 5 ;//为了减小内存可以不过要按质数减小如去掉17
int phi[PM + 1][M + 1], sz[M + 1];
void init() {
    getprime();
    sz[0] = 1;
    for(int i = 0; i <= PM; ++i)  phi[i][0] = i;
    for(int i = 1; i <= M; ++i) {
        sz[i] = prime[i] * sz[i - 1];
        for(int j = 1; j <= PM; ++j) phi[j][i] = phi[j][i - 1] - phi[j / prime[i]][i - 1];
    }
}
int sqrt2(LL x) {
    LL r = (LL)sqrt(x - 0.1);
    while(r * r <= x)   ++r;
    return int(r - 1);
}
int sqrt3(LL x) {
    LL r = (LL)cbrt(x - 0.1);
    while(r * r * r <= x)   ++r;
    return int(r - 1);
}
LL getphi(LL x, int s) {
    if(s == 0)  return x;
    if(s <= M)  return phi[x % sz[s]][s] + (x / sz[s]) * phi[sz[s]][s];
    if(x <= prime[s]*prime[s])   return pi[x] - s + 1;
    if(x <= prime[s]*prime[s]*prime[s] && x < N) {
        int s2x = pi[sqrt2(x)];
        LL ans = pi[x] - (s2x + s - 2) * (s2x - s + 1) / 2;
        for(int i = s + 1; i <= s2x; ++i) ans += pi[x / prime[i]];
        return ans;
    }
    return getphi(x, s - 1) - getphi(x / prime[s], s - 1);
}
LL getpi(LL x) {
    if(x < N)   return pi[x];
    LL ans = getphi(x, pi[sqrt3(x)]) + pi[sqrt3(x)] - 1;
    for(int i = pi[sqrt3(x)] + 1, ed = pi[sqrt2(x)]; i <= ed; ++i) ans -= getpi(x / prime[i]) - i + 1;
    return ans;
}
LL lehmer_pi(LL x) {//小于等于n的素数有多少个
    if(x < N)   return pi[x];
    int a = (int)lehmer_pi(sqrt2(sqrt2(x)));
    int b = (int)lehmer_pi(sqrt2(x));
    int c = (int)lehmer_pi(sqrt3(x));
    LL sum = getphi(x, a) +(LL)(b + a - 2) * (b - a + 1) / 2;
    for (int i = a + 1; i <= b; i++) {
        LL w = x / prime[i];
        sum -= lehmer_pi(w);
        if (i > c) continue;
        LL lim = lehmer_pi(sqrt2(w));
        for (int j = i; j <= lim; j++) sum -= lehmer_pi(w / prime[j]) - (j - 1);
    }
    return sum;
}

int main() {
    LL n;
    init();
    while(scanf("%lld",&n)!=EOF) {
        cout<<lehmer_pi(n)<<endl;
    }
    return 0;
}