最长公共子序列题目描述
给定两个字符串str1和str2，输出连个字符串的最长公共子序列。如过最长公共子序列为空，则输出-1。
最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称 LCS）是一道非常经典的面试题目，因为它的解法是典型的二维动态规划，大部分比较困难的字符串问题都和这个问题一个套路，比如说编辑距离。而且，这个算法稍加改造就可以用于解决其他问题，所以说 LCS 算法是值得掌握的。
题目就是让我们求两个字符串的 LCS 长度：
输入: str1 = "abcde", str2 = "ace"
输出: 3
解释: 最长公共子序列是 "ace"，它的长度是 3
肯定有读者会问，为啥这个问题就是动态规划来解决呢？因为子序列类型的问题，穷举出所有可能的结果都不容易，而动态规划算法做的就是穷举 + 剪枝，它俩天生一对儿。所以可以说只要涉及子序列问题，十有***都需要动态规划来解决，往这方面考虑就对了。
下面就来手把手分析一下，这道题目如何用动态规划技巧解决。
一、动态规划思路
第一步，一定要明确dp数组的含义。对于两个字符串的动态规划问题，套路是通用的。
比如说对于字符串s1和s2，一般来说都要构造一个这样的 DP table：
为了方便理解此表，我们暂时认为索引是从 1 开始的，待会的代码中只要稍作调整即可。其中，dp[i][j]的含义是：对于s1[1..i]和s2[1..j]，它们的 LCS 长度是dp[i][j]。
比如上图的例子，d[2][4] 的含义就是：对于"ac"和"babc"，它们的 LCS 长度是 2。我们最终想得到的答案应该是dp[3][6]。
第二步，定义 base case。
我们专门让索引为 0 的行和列表示空串，dp[0][..]和dp[..][0]都应该初始化为 0，这就是 base case。
比如说，按照刚才 dp 数组的定义，dp[0][3]=0的含义是：对于字符串""和"bab"，其 LCS 的长度为 0。因为有一个字符串是空串，它们的最长公共子序列的长度显然应该是 0。
第三步，找状态转移方程。
这是动态规划最难的一步，不过好在这种字符串问题的套路都差不多，权且借这道题来聊聊处理这类问题的思路。
状态转移说简单些就是做选择，比如说这个问题，是求s1和s2的最长公共子序列，不妨称这个子序列为lcs。那么对于s1和s2中的每个字符，有什么选择？很简单，两种选择，要么在lcs中，要么不在。
这个「在」和「不在」就是选择，关键是，应该如何选择呢？这个需要动点脑筋：如果某个字符应该在lcs中，那么这个字符肯定同时存在于s1和s2中，因为lcs是最长公共子序列嘛。所以本题的思路是这样：
用两个指针i和j从后往前遍历s1和s2，如果s1[i]==s2[j]，那么这个字符一定在lcs中；否则的话，s1[i]和s2[j]这两个字符至少有一个不在lcs中，需要丢弃一个。
求解：
引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。
问题的递归式写成：
回溯输出最长公共子序列过程：
算法分析：
由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m + n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为Θ(m + n)。
代码实现：
public class LongCommonSequence {
/**
* 获得矩阵dp dp矩阵最右下角的值为两个序列的最长公共子序列的长度
*
* @param str1
* @param str2
* @return
*/
public int[][] get_dp(char[] str1, char[] str2) {
int[][] dp = new int[str1.length][str2.length];
dp[0][0] = str1[0] == str2[0] ? 1 : 0;
for (int i = 1; i < str1.length; i++) {
dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], str1[i] == str2[0] ? 1 : 0);
}
for (int j = 1; j < str2.length; j++) {
dp[0][j] = Math.max(dp[0][j - 1], str1[0] == str2[j] ? 1 : 0);
}
for (int i = 1; i < str1.length; i++) {
for (int j = 1; j < str2.length; j++) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
if (str1[i] == str2[j]) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 1][j - 1] + 1);
}
}
}
return dp;
}
/**
* 通过dp矩阵求解最长公共子序列的过程 就是还原出当时如何求解dp的过程， 来自哪个方向的策略就朝哪个方向移动
*
* @param s1
* @param s2
* @return
*/
public String lcse(String s1, String s2) {
if (s1 == null || s2 == null || s1.equals("") || s2.equals("")) {
return "";
}
char[] c1 = s1.toCharArray();
char[] c2 = s2.toCharArray();
int[][] dp = get_dp(c1, c2);
int m = c1.length - 1;
int n = c2.length - 1;
char[] result = new char[dp[m][n]];
int index = result.length - 1;
while (index >= 0) {
if (n > 0 && dp[m][n] == dp[m][n - 1]) { // 向左移动
n--;
} else if (m > 0 && dp[m][n] == dp[m - 1][n]) { // 向上移动
m--;
} else { // 向左上方移动
result[index--] = c1[m];
m--;
n--;
}
}
return String.valueOf(result);
}
public static void main(String[] args) {
String str1 = "abbzqaba";
String str2 = "sababqcz";
LongCommonSequence l = new LongCommonSequence();
System.out.println(l.lcse(str1, str2));
}
}
最长公共子串题目描述
给定两个字符串str1和str2,输出两个字符串的最长公共子串，如果最长公共子串为空，输出-1
解析
这里的最大公共字串要求的字串是连续的。
求字串的方法和求子序列方法类似：
当str1[i] == str2[j]时，子序列长度 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;；只是当str1[i] ！= str2[j]时， dp[i][j] = 0;长度要为0，而不是max{dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}。最长公共子串代码实现
import java.util.*;
public class Solution {
/**
* longest common substring
* @param str1 string字符串 the string
* @param str2 string字符串 the string
* @return string字符串
*/
public String LCS (String str1, String str2) {
if(str1 == null || str2 == null || str1.equals("") || str2.equals("")){
return "-1";
}
int indexMax = 0;
int maxLen = 0;
int m = str1.length();
int n = str2.length();
//dp[i][j]代表 str1[0~i-1]和str2[0~j-1] 的最长公共子串的长度
int[][] dp = new int[m][n];
for(int i = 0; i < m; ++ i){
for(int j = 0; j < n; ++j){
if(str1.charAt(i) == str2.charAt(j)){
if(i == 0 || j == 0){
dp[i][j] = 1;
}else{
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
}
}//else 是str1[i]!=str2[j]的情况,这种情况下dp[i][j]=0,由于初始化已经将其设置为0,所以这里不再写。
//处理完dp[i][j]之后,查看一下是否需要记录下来
if(maxLen < dp[i][j]){
maxLen = dp[i][j]; //记录下最长公共子串的长度
indexMax = i; //记录下出现“最长公共子串”时的末尾字符的位置
}
}
}
if(maxLen == 0) return "-1";
//字符串截取的长度有(end-start+1) = maxLen, 那么start = indexMax +1-maxLen
// maxLen即为所截取的字符串的长度。
return str1.substring(indexMax - maxLen + 1 , indexMax + 1);
}
} 
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