均匀分布的公交站等车问题

小森在公交站等车，有三路公交车均可乘坐到达目的地。A 公交车到站的时间为 0 到 10 分钟内的任一时间点，且服从 [0, 10] 的均匀分布。同样地，B 公交车到站的时间为 0 到 20 分钟内的任一时间点，C 公交车到站的时间为 0 到 30 分钟内的任一时间点。求问小森的平均等车时间？

1. 只有两辆公交车的情况

三辆公交车分析起来比较复杂，我们可以试着先考虑只有两辆公交车的情况，弄明白了这种情况下的平均等车时间，我们自然而然就很容易推广到三辆公交车的情形。

设公交车 A 到站的时间为随机变量 $X$X，那么 $X$X 的取值范围为 [0, 10]，其概率密度函数为：

$f_X\left(x\right)=\frac{1}{10},0⩽x⩽10$fX​(x)=101​,0⩽x⩽10

同理，设公交车 B 到站的时间为随机变量 $Y$Y，那么 $Y$Y 的取值范围为 [0, 20]，其概率密度函数为：

$f_Y\left(y\right)=\frac{1}{20},0⩽y⩽20$fY​(y)=201​,0⩽y⩽20

小森的等待时间为随机变量 $S$S，易知 $S=min(X,Y)$S=min(X,Y)，也即等待时间为公交车内 A、B 到站时间的较小者。其概率密度函数则为：

$f_S\left(s\right)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{10},s=min(x,y)=x\to x⩽y\\ \frac{1}{20},s=min(x,y)=y\to x\>y\end{array}$fS​(s)={101​,s=min(x,y)=x→x⩽y201​,s=min(x,y)=y→x>y​

平均等待时间即为 $S$S 的期望，

$E\left[S\right]=\int f_S\left(s\right)sds={\int }_0^{10}\frac{1}{20}\left({\int }_0^y\frac{1}{10}xdx\right)dy+{\int }_{10}^{20}\frac{1}{20}\left({\int }_0^{10}\frac{1}{10}xdx\right)dy+{\int }_0^{10}\frac{1}{10}\left({\int }_0^x\frac{1}{20}ydy\right)dx$E[S]=∫fS​(s)sds=∫010​201​(∫0y​101​xdx)dy+∫1020​201​(∫010​101​xdx)dy+∫010​101​(∫0x​201​ydy)dx

上式前两项代表 $x⩽y$x⩽y 的情况，最后一项代表 $x\>y$x>y 的情况。

也可以写成下面这样的形式，

$E\left[S\right]=\int f_S\left(s\right)sds={\int }_0^{10}\frac{1}{10}({\int }_0^x\frac{1}{20}ydy+{\int }_x^{20}\frac{1}{20}xdy)dx$E[S]=∫fS​(s)sds=∫010​101​(∫0x​201​ydy+∫x20​201​xdy)dx

外层积分代表 $X$X 是 [0, 10] 上的均匀分布，内层积分的第一部分代表 $x\>y$x>y 的情况，第二部分代表 $x⩽y$x⩽y 的情况。

最后求得 $E\left[X\right]=\frac{25}{6}\approx 4.1667$E[X]=625​≈4.1667，也即小森的平均等车时间为 4.1667 分钟。

import numpy as np

sample_num = 1000000
a = np.random.uniform(0, 10, sample_num) # 生成一个 [0, 10] 的均匀分布
b = np.random.uniform(0, 20, sample_num) # 生成一个 [0, 20] 的均匀分布

for i in range(a.shape[0]):
    a[i] = min(a[i], b[i])

print(np.mean(a)) # 期望值，4.167499895337278

用程序随机生成数据验证后，也可得到近似的值。

2. 三辆公交车的情况

如果再增加一辆公交车 C，其到站的时间为随机变量 $Z$Z，那么 $Z$Z 的取值范围为 [0, 30]，其概率密度函数为：

$f_Z\left(z\right)=\frac{1}{30},0⩽x⩽30$fZ​(z)=301​,0⩽x⩽30

则 $S=min(X,Y,Z)$S=min(X,Y,Z)，也即等待时间为公交车内 A、B、C 到站时间的较小者。其概率密度函数则为：

$f_S\left(s\right)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{10},s=min(x,y,z)=x\\ \frac{1}{20},s=min(x,y,z)=y\\ \frac{1}{30},s=min(x,y,z)=z\end{array}$fS​(s)=⎩⎪⎨⎪⎧​101​,s=min(x,y,z)=x201​,s=min(x,y,z)=y301​,s=min(x,y,z)=z​

平均等待时间即为 $S$S 的期望，

$E\left[S\right]=\int f_S\left(s\right)sds={\int }_0^{10}\frac{1}{10}\left({\int }_0^x\frac{1}{20}\right[{\int }_0^y\frac{1}{30}zdz+{\int }_y^{30}\frac{1}{30}ydz]dy+{\int }_x^{20}\frac{1}{20}[{\int }_0^x\frac{1}{30}zdz+{\int }_x^{30}\frac{1}{30}xdz\left]dy\right)dx$E[S]=∫fS​(s)sds=∫010​101​(∫0x​201​[∫0y​301​zdz+∫y30​301​ydz]dy+∫x20​201​[∫0x​301​zdz+∫x30​301​xdz]dy)dx

最外层积分代表 $X$X 是 [0, 10] 上的均匀分布，中间层积分代表 $Y$Y 是 [0, 20] 上的均匀分布，最内层四部分分别代表 $x\&gt;y\mathrm{\&amp;}\mathrm{\&amp;}y\&gt;z$x>y && y>z、 $x\&gt;y\mathrm{\&amp;}\mathrm{\&amp;}y\&lt;z$x>y && y<z、 $x\&lt;y\mathrm{\&amp;}\mathrm{\&amp;}x\&gt;z$x<y && x>z 和 $x\&lt;y\mathrm{\&amp;}\mathrm{\&amp;}x\&lt;z$x<y && x<z四种情况。

最后求得 $E\left[X\right]=3.75$E[X]=3.75，也即小森的平均等车时间为 3.75 分钟。

import numpy as np

sample_num = 1000000
a = np.random.uniform(0, 10, sample_num) # 生成一个 [0, 10] 的均匀分布
b = np.random.uniform(0, 20, sample_num) # 生成一个 [0, 20] 的均匀分布
c = np.random.uniform(0, 30, sample_num) # 生成一个 [0, 30] 的均匀分布

for i in range(a.shape[0]):
    a[i] = min(a[i], b[i])
    a[i] = min(a[i], c[i])

print(np.mean(a)) # 期望值，3.748124747694317

用程序随机生成数据验证后，也可得到近似的值。

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