HDU6957 Maximal submatrix（DP/悬线法）

题目链接：HDU6957 Maximal submatrix

题目描述：

给定一个 $n\ast m$ 的矩阵，求面积最大的子矩阵，对于该矩阵，满足每列元素是个非递减序列。

​输入数据格式为，第一行输入测试样例组数 $T$​​​​​​​。每组数据首先输入两个整数 $n$​​​​​ 和 $m$​​​​，表示矩阵的大小。接下来 $n$​​​​ 行，每行输入 $m$​​​ 个整数 $v_{ij}$​​，表示第 $i$ 行 第 $j$​ 列的元素​。其中，$1\le n,m\le 2\ast 10^3$，$1\le v_{ij}\le 5\ast 10^3$。

​输出数据格式为，对于每组测数据，输出一行，该行仅有一个整数，表示最大矩阵的面积。

题目解析：

​首先将原矩阵转化为 01 矩阵，当i > 1 && a[i][j] >= a[i-1][j]时，b[i][j] = 1。然后用悬线法求这个最大的满足条件的 01 矩阵的面积。

​定义对于当前a[i][j]，up[i][j]表示所满足条件的最大上界，down[i][j]表示满足条件的最大下界，len[i][j]表示矩阵能取到的最大长度，即连续的列数。定义状态转移方程：
$$\{\begin{array}{ll}up[i][j]=up[i-1][j],& \text{if b[i][j] is true}\\ down[i][j]=down[i+1][j],& \text{if b[i+1][j] is true}\\ len[i][j]=len[i][j-1]+1,up[i][j]=max(up[i][j-1],up[i][j]),down[i][j]=max(down[i][j-1],down[i][j])& \text{if b[i][j-1] is true}\end{array}$$

​如果当前b[i][j] = 1，说明up[i-1][j]一定是可以取到的一个上界，下界转移同理。然后处理矩阵能取到的最大长度，如果b[i][j-1] = 1，说明b[i][j-1]一定在这个矩阵里，然后再计算前 j 列区间重叠的部分，最后 ans = max(ans, len[i][j] * (down[i][j] - up[i][j] + 1))。另外，这题用二维int数组会爆空间，用short优化即可。

参考代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
#define FAST ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0),cout.tie(0)
#define endl '\n'
#define debug(x) cout << #x << " = " << (x) << endl
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define rep(i,a,n) for(int i=a;i<=n;++i)
#define per(i,n,a) for(int i=n;i>=a;--i)

using namespace std;

const int maxn = 2e3+5;

int n, m;
short a[maxn][maxn];
bool b[maxn][maxn];
short up[maxn][maxn], down[maxn][maxn], len[maxn][maxn];

void tran() {
   
	mem(b, 0);
	rep(i, 1, n) {
   
		rep(j, 1, m) {
   
			if (i == 1) continue;
			else if (a[i][j] >= a[i-1][j]) b[i][j] = 1;
		}
    }
}

void init() {
   
	rep(i, 1, n) {
   
		rep(j, 1, m) {
   
			up[i][j] = i;
			down[i][j] = i;
			len[i][j] = 1;
		}
	}
}

int main()
{
   
	FAST;
	int t; cin >> t;
	while (t--) {
   
		cin >> n >> m;
		rep(i, 1, n) {
   
			rep(j, 1, m) {
   
				cin >> a[i][j];
			}
		}
		
		tran();
		init();
		
		rep(j, 1, m) {
   
			rep(i, 2, n) {
   
				if (b[i][j]) up[i][j] = up[i-1][j];
			}
			
			per(i, n-1, 1) {
   
				if (b[i+1][j]) down[i][j] = down[i+1][j];
			}
		}
		
		int ans = m;
		
		rep(j, 1, m) {
   
			rep(i, 1, n) {
   
				if (b[i][j-1]) {
   
					len[i][j] = len[i][j-1] + 1;
					up[i][j] = max(up[i][j], up[i][j-1]);
					down[i][j] = min(down[i][j], down[i][j-1]);
				}
				int llen = down[i][j] - up[i][j] + 1;
				ans = max(ans, llen * len[i][j]);
			}
		}
		cout << ans << endl;
	}
 	return 0;
}
/* 1 5 5 1 1 5 5 5 2 2 2 2 2 1 3 3 3 3 1 4 4 4 4 1 5 5 5 5 1 2 4 2 3 4 5 1 4 4 5 1 2 5 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 10 1 1 2 3 3 4 8 9 10 2 3 5 */