有向无环图及其应用:

有向图是描述工程进行过程的有效工具，几乎所有的工程都可以分为若干个“活动”的子工程，每个活动都会持续一段时间，某些活动之间往往存在一定的约束关系，比如某些活动的开始必须在某些特定活动的结束才可以运行。
下面对于有向图我们进行拓扑排序和关键路径的讨论。

AOV网与拓扑排序：

AOV：

在一个表示工程的有向图中，用顶点表示活动，用弧表示活动之间的优先关系，称这样的有向图为顶点表示活动的网，简称AOV网（activity on vertex network），显然，AOV网中不能出现回路，否则意味着某项活动的开始要以自己的完成作为先决条件，这显然是不成立的。因此判断AOV网能否正常进行即判断它是否存在回路。测试AOV网是否存在回路的方法就是对AOV网进行拓扑排序。

拓扑排序：

拓扑序列：设G=(V,E)是一个有向图，V的顶点序列v0,v1,…vn-1称为一个拓扑序列当且仅当满足以下条件:若从顶点vi到vj有一条路径，则在顶点序列中vi必须存在于vj之前。
对一个有向图构造拓扑序列的过程称为拓扑排序。（不唯一）
过程：

for{
   
		找出入度为0（没有前驱）的顶点输出;
		删除(模拟删除)该点和该点引出的边;
}

AOE网与关键路径：

AOE：

在一个表示工程的带权有向图中，用顶点表示事件，用有向边表示活动，边上的权值表示活动的持续时间，称这样的有向图为边表示活动的网，简称AOE网（activity on edge network），AOE网中没有入边的顶点称为源点，没有出边的顶点称为终点。

AOE网的两个性质：

1.只有在进入某顶点的各活动都已经结束，该顶点所代表的事件才能开始发生。
2.只有某顶点所代表的事件发生后，从该顶点出发的各个活动才能开始。
由AOE网的性质知：完成整个工程所需的时间应该为始点到终点的最大路径长度（这里的最大路径长度是指该路径上的各个活动所持续的时间之和）。具有最大路径长度的路径称为关键路径（critical path），关键路径上的活动称为关键活动（critical activity），关键路径长度是整个工程所需的最短工期，也就是说，要想缩短整个工期，必须加快关键活动的进度。

由AOE网的性质引出的几组定义：

1.事件的最早发生时间ve[k]:

（ve[k]是指从源点到顶点vk的最大路径长度，这个长度决定了所有从顶点vk发出的活动可以开始的最早时间）
ve[0]=0;
ve[k]=max{ve[j]+length<vj,vk>}(<vi,vj>属于p[k])（p[k]表示所有到达vk的有向边的集合，len<vj,vk>为有向边<vi,vj>的权值）

2.事件的最迟发生时间vl[k]：

（vl[k]是指在不推迟整个工期的前提下，时间vk允许的最晚发生时间）
vl[n-1]=ve[n-1]
vl[k]=min{vl[j]-len<vk,vj>}

3.活动ai的最早开始时间ee[i]:

（活动ai的最早开始时间应等于事件vk的最早发生时间。）
ee[i]=ve[k]

4.活动ai的最晚开始时间e[i]：

（e[i]是指在不推迟整个工期的前提下么活动ai必须开始的最晚时间。）
el[i]=vl[j]-len<vi,vj>

关键活动与关键路径的确定：

根据每个活动的最早开始时间ee[i]和最晚开始时间el[i]判定活动是否为关键活动：当ee[i]=el[i]的活动就是关键活动，那些el[i]>ee[i]的活动则不是关键活动，el[i]-ee[i]的值为活动的时间余量，关键活动确定之后，关键活动所在的路径就是关键路径。

AOV{
   
		顶点->活动;
		弧/边->活动间优先关系;
}
AOE{
   
		顶点->事件;
		弧/边->活动，边上的权值表示活动的持续时间;
}