题目描述

在 N×N 的棋盘里面放 K 个国王，使他们互不攻击，共有多少种摆放方案。国王能攻击到它上下左右，以及左上左下右上右下八个方向上附近的各一个格子，共 88 个格子。

输入格式

只有一行，包含两个数 N,K。

输出格式

所得的方案数

本题是一个动态规划问题，对于题目上上下左右不相邻的要求如何去判断可以使用二进制的计算去判断（状态压缩DP）。比如如果只有一行的话，i&i<<1是否是0就可以判断是否满足条件。

因为&是按位与运算，然后<<位移运算符的优先级比&运算符的优先级要高，所以会将原来的二进制数左移一位，这样彼此之间就错开了一位。如果错开了之后按位与运算结果是0那么就可以知道在这个二进制序列里面一定没有相邻的国王存在（1代表有国王，0代表没国王）。

然后将方案（i的数就是方案）和某个方案中1（也就是某一行中国王的个数）的个数进行保存。从上往下逐行进行计算。在上下两行中遍历每一行方案就是在由上一行的方案来确定下一行的方案（同样根据&运算来判断上下两行是否符合要求）。然后通过一个三维数组保存数据，由前面的方案数来推出后面有多少方案数。最后将最后一行，K个国王的不同方案数相加就是最终的结果。

AC代码：

//对于棋盘的某一行来说，
//应该怎么摆放限制在于上一行。
//对于下一行其实不用去管他，
//毕竟就这一行来说下一行是未知的，
//等到达下一行的时候自然会根据上一行来获得摆放。
 
#include <iostream>
#include <cstdio>
#define ll long long
#define IOS ios:sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0)

using namespace std;
const int MAXM = 105;
const int MAXN = 10;
ll s[MAXM], s_num[MAXM], v[MAXN][MAXM][MAXM];
int get(ll i) {
	int cnt = 0;
	while (i) {
		cnt++;
		i = (i-1)&i;
	}
	return cnt;
}

int main() {
	ll N, K, n = 1;
	cin>>N>>K;
	//s保存方案，s_num保存某一个方案下的国王个数 
	
	//首先关心在某一行的方案可行摆放。这样可以节省不少的循环
	for (ll i=0;i<(1<<N);i++) {
		if (i&i<<1) continue;
		s[n] = i;
		s_num[n] = get(i);
		v[1][n][s_num[n]] = 1;
		n++;
	}
	for (ll i=2;i<=N;i++) {
		//对于上下两层的每一种可行性情况进行测试
		for (ll j=1;j<n;j++) {
			for (ll k=1;k<n;k++) {
				if (s[j]&s[k]) continue;
				if (s[j]&s[k]<<1) continue;
				if (s[j]<<1&s[k]) continue;
				//上下两层通过
				for (ll l=s_num[j];l<=K;l++) {
					v[i][j][l] += v[i-1][k][l-s_num[j]];
				}
			}
		}
	}
	ll type_num = 0;
	for (ll i=1;i<n;i++) {
		type_num += v[N][i][K];
	}
	cout<<type_num;
	return 0;
}