NC19810 kingdom

题目地址：

https://ac.nowcoder.com/acm/problem/19810

基本思路：

题意是让我们构造一棵树，父亲的重儿子的权值等于父亲，否则权值等于父亲节点加一，我们要让整棵树权值最大。
我们设 $dp[i]$ 表示 $i$ 个节点能构造出来的权值最大的树，那么这棵树应当是多个子树和一个根节点连接起来的;
连接以后这些子树里肯定存在一个重儿子，假设这个重儿子的节点数为 $j$ ，那么除了这 $j$ 个节点和根节点外，其余节点都要贡献一次加一，那么 $dp[i] = \sum dp[每棵子树] + i - j - 1;$
那么我们如何最优的构造这棵树的子树，我们可以猜个结论，首先对于节点数 $i$ ，我们枚举它可能的重儿子的大小 $j$ ，然后对于这 $(i-1)$ 个节点，我们尽量多的构造大小为 $j$ 的子树，然后剩余部分再构造一棵子树(应当可以证明这样是最优的，(ฅ´ω`ฅ)不会证，各位大佬证一下)，根据这个结论我们就能得到转移方程： $dp[i] = max(dp[i],(i-1)/j * dp[j] + dp[(i-1) \%j] + i -j + 1)$ ;然后 $dp[n]$ 就是我们的答案。

参考代码：

#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define IO std::ios::sync_with_stdio(false)
#define int long long
#define rep(i, l, r) for (int i = l; i <= r; i++)
#define per(i, l, r) for (int i = l; i >= r; i--)
#define mset(s, _) memset(s, _, sizeof(s))
#define pb push_back
#define pii pair <int, int>
#define mp(a, b) make_pair(a, b)
#define INF (int)1e18

inline int read() {
  int x = 0, neg = 1; char op = getchar();
  while (!isdigit(op)) { if (op == '-') neg = -1; op = getchar(); }
  while (isdigit(op)) { x = 10 * x + op - '0'; op = getchar(); }
  return neg * x;
}
inline void print(int x) {
  if (x < 0) { putchar('-'); x = -x; }
  if (x >= 10) print(x / 10);
  putchar(x % 10 + '0');
}

const int maxn = 8010;
int n,dp[maxn];
signed main() {
  IO;
  cin >> n;
  for(int i = 3 ; i <= n ; i++) {
    for (int j = 1; j < i; j++) dp[i] = max(dp[i], (i - 1) / j * dp[j] + dp[(i - 1) % j] + i - j - 1);
  }
  cout << dp[n] << '\n';
  return 0;
}