动态规划解决
注意这题求的是最长公共子串，不是最长公共子序列，子序列可以是不连续的，但子串一定是连续的。
定义dp[i][j]表示字符串str1中第i个字符和str2种第j个字符为最后一个元素所构成的最长公共子串。如果要求dp[i][j]，也就是str1的第i个字符和str2的第j个字符为最后一个元素所构成的最长公共子串，我们首先需要判断这两个字符是否相等。
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如果不相等，那么他们就不能构成公共子串，也就是 dp[i][j]=0;
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如果相等，我们还需要计算前面相等字符的个数，其实就是dp[i-1][j-1]，所以 dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
有了递推公式，代码就比较简单了，我们使用两个变量，一个记录最长的公共子串，一个记录最长公共子串的结束位置，最后再对字符串进行截取即可，来看下代码
public String LCS(String str1, String str2) {
int maxLenth = 0;//记录最长公共子串的长度
//记录最长公共子串最后一个元素在字符串str1中的位置
int maxLastIndex = 0;
int[][] dp = new int[str1.length() + 1][str2.length() + 1];
for (int i = 0; i < str1.length(); i++) {
for (int j = 0; j < str2.length(); j++) {
//递推公式，两个字符相等的情况
if (str1.charAt(i) == str2.charAt(j)) {
dp[i + 1][j + 1] = dp[i][j] + 1;
//如果遇到了更长的子串，要更新，记录最长子串的长度，
//以及最长子串最后一个元素的位置
if (dp[i + 1][j + 1] > maxLenth) {
maxLenth = dp[i + 1][j+1];
maxLastIndex = i;
}
} else {
//递推公式，两个字符不相等的情况
dp[i + 1][j+1] = 0;
}
}
}
//最字符串进行截取，substring(a,b)中a和b分别表示截取的开始和结束位置
return str1.substring(maxLastIndex - maxLenth + 1, maxLastIndex + 1);
}
时间复杂度：O（m*n），m和n分别表示两个字符串的长度
空间复杂度：O（m*n）
看一下运行结果
动态规划代码优化
上面我们使用的是二维数组，我们发现计算当前位置的时候之和左上角的值有关，所以我们可以把二维数组变为一维数组，注意第2个for循环要进行倒叙，因为后面的值要依赖前面的值，如果不倒叙，前面的值会被覆盖，导致结果错误
public String LCS(String str1, String str2) {
int maxLenth = 0;//记录最长公共子串的长度
//记录最长公共子串最后一个元素在字符串str1中的位置
int maxLastIndex = 0;
int[] dp = new int[str2.length() + 1];
for (int i = 0; i < str1.length(); i++) {
//注意这里是倒叙
for (int j = str2.length() - 1; j >= 0; j--) {
//递推公式，两个字符相等的情况
if (str1.charAt(i) == str2.charAt(j)) {
dp[j + 1] = dp[j] + 1;
//如果遇到了更长的子串，要更新，记录最长子串的长度，
//以及最长子串最后一个元素的位置
if (dp[j + 1] > maxLenth) {
maxLenth = dp[j + 1];
maxLastIndex = i;
}
} else {
//递推公式，两个字符不相等的情况
dp[j + 1] = 0;
}
}
}
//最字符串进行截取，substring(a,b)中a和b分别表示截取的开始和结束位置
return str1.substring(maxLastIndex - maxLenth + 1, maxLastIndex + 1);
}
时间复杂度：O（m*n），m和n分别表示两个字符串的长度
空间复杂度：O（n），只需要一个一维数组即可
看下运行结果
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