题目难度: 简单
今天继续更新剑指 offer 系列, 老样子晚上 6 点 45 分准时更新公众号 每日精选算法题, 大家记得关注哦~ 另外在公众号里回复 offer 就能看到剑指 offer 系列当前连载的所有文章了
题目描述
把 n 个骰子扔在地上，所有骰子朝上一面的点数之和为 s。输入 n，打印出 s 的所有可能的值出现的概率。
你需要用一个浮点数数组返回答案，其中第 i 个元素代表这 n 个骰子所能掷出的点数集合中第 i 小的那个的概率。
- 1 <= n <= 11
题目样例
示例
输入: 1
输出: [0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667]
输入: 2
输出: [0.02778,0.05556,0.08333,0.11111,0.13889,0.16667,0.13889,0.11111,0.08333,0.05556,0.02778]
题目思考
- 可以根据 n 个骰子的概率推导出 n+1 个骰子的概率吗
解决方案
思路
- 分析题目, 先从 1 个骰子的最简单情况出发, 显然点数为 1~6 的概率都是 1/6
- 那如果是 2 个骰子呢? 假设第一个骰子点数为 1, 第二个可以是 1
6, 两者之和就是 27; 而如果第一个点数为 2, 那么两者之和就是 3~8, 以此类推 - 显然 2 个骰子点数之和为 2 的概率是
(1/6)*(1/6)=1/36, 只有 1+1 一种情况; 而点数之和为 3 的概率是1/36+1/36=1/18, 有 1+2 和 2+1 两种情况, 以此类推 - 所以如果我们使用一个字典来保存当前骰子数 n 的每个点数之和的概率, 即键值对是
{点数和:概率}, 那么对于 n+1 而言, 我们只需要对每个点数之和加上 1~6 作为新的点数之和, 将原有概率乘以 1/6 累加到新的点数和对应的概率上即可 - 最后只需要根据有效点数之和从小到大, 将字典中的值依次存入最终结果中
- 对于 n 个骰子而言, 其点数之和最小为 n (每个骰子点数都是 1), 最大为
6*n(每个骰子点数都是 6) - 下面代码对必要的步骤有详细的解释, 方便大家理解
复杂度
- 时间复杂度 O(N^2): 两层循环, 外层遍历 N 个数, 内层遍历
5N*6个数 - 空间复杂度 O(N): 字典中需要存 5N 个键值对
代码
import collections
class Solution:
def twoSum(self, n: int) -> List[float]:
# DP, dp为当前的点数和=>概率的字典, 初始化dp[0] = 1, 代表0个骰子时点数之和为0的概率为1
# 增加一个骰子后, 我们只需要对原来字典的每个点数之和加上 1~6 作为新的点数之和, 并将原有概率乘以 1/6 累加到新的点数和对应的概率上即可
dp = {}
dp[0] = 1
for i in range(1, n + 1):
newdp = collections.defaultdict(int)
for sm in dp:
for v in range(1, 7):
# 增加一个骰子后, 累加其概率到新的点数和上
newdp[sm + v] += dp[sm] / 6
dp = newdp
res = []
for sm in range(n, 6 * n + 1):
# 将值依次存入结果中
res.append(dp[sm])
return res 大家可以在下面这些地方找到我~😊
我的公众号: 每日精选算法题, 欢迎大家扫码关注~😊
京公网安备 11010502036488号