二叉树的最长的路径长度和最大路径和

 二叉树中的最大路径和

给定一个非空二叉树，返回其最大路径和。

本题中，路径被定义为一条从树中任意节点出发，达到任意节点的序列。该路径至少包含一个节点，且不一定经过根节点。

示例 1:

输入: [1,2,3]

       1
      / \
     2   3

输出: 6
示例 2:

输入: [-10,9,20,null,null,15,7]

   -10
   / \
  9  20
    /  \
   15   7

输出: 42

 

思路解析

问题就来了，怎么考虑包含根节点的最大路径等于多少？因为我们递归求出来的最大 left 可能不包含根节点的左孩子，例如下边的情况。

     8
    / \
  -3   7
 /  \
1    4

 

左子树的最大值 left 肯定就是 4 了，然而此时的根节点 8 并不能直接和 4 去相连。所以考虑包含根节点的路径的最大值时，并不能单纯的用 root.val + left + right。

所以如果考虑包含当前根节点的 8 的最大路径，首先必须包含左右孩子，其次每次遇到一个分叉，就要选择能产生更大的值的路径。例如下边的例子：

      8
    /  \
   -3   7
 /    \
1      4
 \    / \    
  3  2   6

考虑左子树 -3 的路径的时候，我们有左子树 1 和右子树 4 的选择，但我们不能同时选择
如果同时选了，路径就是 ... -> 1 -> -3 -> 4 -> ... 就无法通过根节点 8 了
所以我们只能去求左子树能返回的最大值，右子树能返回的最大值，选一个较大的

 假设我们只考虑通过根节点 8 的最大路径是多少，那么代码就可以写出来了。


public int maxPathSum(TreeNode root) {
    //如果最大值是负数，我们选择不选
    int left = Math.max(helper(root.left), 0);
    int right = Math.max(helper(root.right), 0); 
    return root.val + left + right;
}

int helper(TreeNode root) {
    if (root == null) return 0; 
    int left = Math.max(helper(root.left), 0);
    int right = Math.max(helper(root.right), 0);  
    //选择左子树和右子树产生的值较大的一个
    return root.val + Math.max(left, right);
}

 

接下来我觉得就是这道题最精彩的地方了，现在我们只考虑了包含最初根节点 8 的路径。那如果不包含当前根节点，而是其他的路径呢？

可以发现在 helper 函数中，我们每次都求了当前给定的节点的左子树和右子树的最大值，和我们 maxPathSum 函数的逻辑是一样的。所以我们利用一个全局变量，在考虑 helper 函数中当前 root 的时候，同时去判断一下包含当前 root 的路径的最大值。

 

int max = Integer.MIN_VALUE;

public int maxPathSum(TreeNode root) {
    helper(root);
    return max;
} 
int helper(TreeNode root) {
    if (root == null) return 0;

    int left = Math.max(helper(root.left), 0);
    int right = Math.max(helper(root.right), 0);
    
    //求的过程中考虑包含当前根节点的最大路径
    max = Math.max(max, root.val + left + right);
    
    //只返回包含当前根节点和左子树或者右子树的路径
    return root.val + Math.max(left, right);
}

 

 

二叉树的最长的路径长度

题目

　　给定一个二叉树，任意两个节点之间必然是有一条路径相通的，假定父节点和它的孩子节点的距离为单位1，求二叉树中相距最远的两个节点间的路径长度

 

给定一棵二叉树，你需要计算它的直径长度。一棵二叉树的直径长度是任意两个结点路径长度中的最大值。这条路径可能穿过也可能不穿过根结点。

 

示例 :
给定二叉树

          1
         / \
        2   3
       / \     
      4   5    
返回 3, 它的长度是路径 [4,2,1,3] 或者 [5,2,1,3]。

思路

方法：深度优先搜索
首先我们知道一条路径的长度为该路径经过的节点数减一，所以求直径（即求路径长度的最大值）等效于求路径经过节点数的最大值减一。

而任意一条路径均可以被看作由某个节点为起点，从其左儿子和右儿子向下遍历的路径拼接得到。

 

 

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode(int x) { val = x; }
 * }
 */
class Solution {
    int res = 0;
    public int diameterOfBinaryTree(TreeNode root) {
        if(root == null)
            return 0;
        getHeight(root);
        return res;
    }

    public int getHeight(TreeNode node){
        if(node == null)
            return 0;

        int left = getHeight(node.left);
        int right = getHeight(node.right);

        res = Math.max(res, left+right);
        return 1+Math.max(left, right);
    }
}