线性代数之——克拉默法则、逆矩阵和体积

1. 克拉默法则

这部分我们通过代数方法来求解 $Ax=b$Ax=b。

用 $x$x 替换单位矩阵的第一列，然后再乘以 $A$A，我们得到一个第一列为 $b$b 的矩阵，而其余列则是从矩阵 $A$A 中对应列直接拷贝过来的。

利用行列式的乘法法则，我们有

$\mid A\mid \left(x_1\right)=\mid B_1\mid$∣A∣(x1​)=∣B1​∣

如果我们想要求 $x_2$x2​，那么将 $x$x 放在单位矩阵的第二列即可。

$\mid A\mid \left(x_2\right)=\mid B_2\mid$∣A∣(x2​)=∣B2​∣

同理，如果 $detA̸=0$detA̸​=0，我们可以通过行列式来对 $Ax=b$Ax=b 进行求解。

$x_1=\frac{det{B}_1}{detA}{x}_2=\frac{det{B}_2}{detA}\cdots x_n=\frac{det{B}_n}{detA}$x1​=det Adet B1​​x2​=det Adet B2​​⋯xn​=det Adet Bn​​

其中 $B_j$Bj​ 就是将矩阵 $A$A 的第 $j$j 列替换为向量 $b$b。

2. 逆矩阵

对于 $n=2$n=2，我们通过求解 $A{A}^{-1}=I$AA−1=I 来找到 $A^{-1}$A−1 的每一列。

为了解出 $x$x，我们需要五个行列式。

后面的四个行列式分别为 $d，-c，-b，a$d，−c，−b，a，它们分别是矩阵的代数余子式 $C_{11}，C_{12}，C_{21}，C_{22}$C11​，C12​，C21​，C22​。

对任意大小的矩阵都满足，当右边是单位矩阵的一列时，克拉默法则中矩阵 $B_j$Bj​ 的行列式是一个代数余子式。

第一个行列式 $\mid B_1\mid$∣B1​∣ 是代数余子式 $C_{11}$C11​，第二个行列式 $\mid B_2\mid$∣B2​∣ 是代数余子式 $C_{12}$C12​，但是它位于逆矩阵的第一列，也就是 (2，1) 的位置。因此有

我们可以进行一个简单的验证，两边同时乘以 $A$A。

左边第一行乘以第一列可得

$a_{11}{C}_{11}+a_{12}{C}_{12}+a_{13}{C}_{13}=detA$a11​C11​+a12​C12​+a13​C13​=det A

第一行乘以第二列可得

$a_{11}{C}_{21}+a_{12}{C}_{22}+a_{13}{C}_{23}=0$a11​C21​+a12​C22​+a13​C23​=0

这可以看作是我们将矩阵 $A$A 的第一行复制到第二行得到另外一个矩阵 $A^{\ast }$A∗，矩阵 $A^{\ast }$A∗ 有两行元素相同，其行列式为零。另外，我们注意到矩阵 $A$A 和 $A^{\ast }$A∗ 的代数余子式 $C_{21}，C_{22}，C_{23}$C21​，C22​，C23​ 是相同的，因此上式就是矩阵 $A^{\ast }$A∗ 的行列式，其值为零。

3. 体积

任何人都知道一个长方形的面积——底乘以高，而一个三角形的面积为底乘以高的一半。但是，如果我们只知道三角形三个顶点的坐标为 $(x_1,y_1)，(x_2,y_2)，(x_3,y_3)$(x1​,y1​)，(x2​,y2​)，(x3​,y3​)，这时候面积为多少呢？

三角形的面积就是 $3\times 3$3×3 行列式的一半，如果其中一个坐标为原点的话，那么行列式就只有 $2\times 2$2×2 了。

由于平行四边形的面积是三角形面积的两倍，因此从原点开始的平行四边形是一个 $2\times 2$2×2 的行列式。

如果我们能证明平行四边形的面积和行列式具有一样的性质，那么面积就等于行列式。

• 当 $A=I$A=I 时，平行四边形就变成了单位正方形，面积为 $detI=1$detI=1。
• 当两行进行交换的时候，行列式改变符号，但平行四边形还是原来的平行四边形，其面积的绝对值没有改变。
• 当某一行乘以 $t$t 后，面积就变为原来的 $t$t 倍。当其中一行不变，而另一行加上 $(x_1^{\prime },y_1^{\prime })$(x1′​,y1′​) 后，新的平行四边形的面积就为两个平行四边形面积的和。

注意右边的图形是一个平面图形，两个三角形的面积是一样的。我画了一个草图，可能会更直观一点。

$S_{\diamond OCEB}=S_{\diamond OADB}+S_{\diamond ACED}因为S_{△BED}=S_{△OCA}$S⋄OCEB​=S⋄OADB​+S⋄ACED​因为S△BED​=S△OCA​

这个证明虽然不走寻常路，但是它可以很容易扩展到 $n$n 维中去，它们都满足行列式的三个基本性质。在三维中，体积等于行列式的绝对值。

4. 叉积

两个向量的叉积定义为：

叉积得到一个新的向量，这个向量垂直于 $u$u 和 $v$v，而且有 $v\times u=-u\times v$v×u=−u×v。

• 性质 1： $v\times u$v×u 交换了第二行和第三行，因此有 $v\times u=-u\times v$v×u=−u×v。

• 性质 2： $v\times u$v×u 垂直于 $u$u 和 $v$v。

行列式的三行变成了 $u$u 、 $u$u 和 $v$v，因此其值为零。

• 性质 3： 向量和自己的叉积是 0。当 $u$u 和 $v$v 平行的时候，它们的叉积也为 0。点积涉及余弦，叉积涉及正弦。

**以 $u$u 和 $v$v 为边的平行四边形的面积等于它们叉积的模，**其实也就是底乘以高。

叉积遵守右手定则，叉积后向量的方向为右手大拇指指向的方向。

$(u\times v)\cdot w$(u×v)⋅w 是一个数字，代表边为 $u$u 、 $v$v 和 $w$w 的立方体的体积。

如果这个积为零，说明 $u$u 、 $v$v 和 $w$w 位于一个平面内，体积为零，矩阵是不可逆的，行列式为零。

5. 习题

如果 $A$A 是奇异矩阵，那么有

$A{C}^T=\left(detA\right)I\to A{C}^T=0$ACT=(detA)I→ACT=0

因此， $C^T$CT 的每一列都位于矩阵 $A$A 的零空间，我们可以通过求解矩阵的代数余子式来求解 $Ax=0$Ax=0。

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