[学习笔记]线性基

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						<h2 id="概述"><a name="t0" target="_blank"></a>概述</h2>

网上好像没有什么关于线性基的资料…

定义

设数集

性质

1.设线性基的异或集合中不存在

维护

插入

如果向线性基中插入数

bool insert(long long val)
{
    for (int i=60;i>=0;i--)
        if (val&(1LL<<i))
        {
            if (!a[i])
            {
                a[i]=val;
                break;
            }
            val^=a[i];
        }
    return val>0;
}
 
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合并

将一个线性基暴力插入另一个线性基即可。

L_B merge(const L_B &n1,const L_B &n2)
{
    L_B ret=n1;
    for (int i=0;i<=60;i++)
        if (n2.d[i])
            ret.insert(n2.d[i]);
    return ret;
}
 
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查询

存在性

如果要查询

最大值

从高位到低位扫描线性基。
如果异或后可以使得答案变大，就异或到答案中去。

long long query_max()
{
    long long ret=0;
    for (int i=60;i>=0;i--)
        if ((ret^d[i])>ret)
            ret^=d[i];
    return ret;
}
 
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最小值

最小值即为最低位上的线性基。

long long query_min()
{
    for (int i=0;i<=60;i++)
        if (d[i])
            return d[i];
    return 0;
}
 
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k小值

根据性质3。
我们要将线性基改造成每一位相互独立。
具体操作就是如果

void rebuild()
{
    for (int i=60;i>=0;i--)
        for (int j=i-1;j>=0;j--)
            if (d[i]&(1LL<<j))
                d[i]^=d[j];
    for (int i=0;i<=60;i++)
        if (d[i])
            p[cnt++]=d[i];
}
long long kthquery(long long k)
{
    int ret=0;
    if (k>=(1LL<<cnt))
        return -1;
    for (int i=60;i>=0;i--)
        if (k&(1LL<<i))
            ret^=p[i];
    return ret;
}
 
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模板

struct L_B{
    long long d[61],p[61];
    int cnt;
    L_B()
    {
        memset(d,0,sizeof(d));
        memset(p,0,sizeof(p));
        cnt=0;
    }
    bool insert(long long val)
    {
        for (int i=60;i>=0;i--)
            if (val&(1LL<<i))
            {
                if (!d[i])
                {
                    d[i]=val;
                    break;
                }
                val^=d[i];
            }
        return val>0;
    }
    long long query_max()
    {
        long long ret=0;
        for (int i=60;i>=0;i--)
            if ((ret^d[i])>ret)
                ret^=d[i];
        return ret;
    }
    long long query_min()
    {
        for (int i=0;i<=60;i++)
            if (d[i])
                return d[i];
        return 0;
    }
    void rebuild()
    {
        for (int i=60;i>=0;i--)
            for (int j=i-1;j>=0;j--)
                if (d[i]&(1LL<<j))
                    d[i]^=d[j];
        for (int i=0;i<=60;i++)
            if (d[i])
                p[cnt++]=d[i];
    }
    long long kthquery(long long k)
    {
        int ret=0;
        if (k>=(1LL<<cnt))
            return -1;
        for (int i=60;i>=0;i--)
            if (k&(1LL<<i))
                ret^=p[i];
        return ret;
    }
}
L_B merge(const L_B &n1,const L_B &n2)
{
    L_B ret=n1;
    for (int i=60;i>=0;i--)
        if (n2.d[i])
            ret.insert(n1.d[i]);
    return ret;
}
 
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