<span>【学习笔记】树上启发式合并概念+基础运用</span>

引入

现在考虑这样一类树上统计问题：

无修改操作，询问允许离线
对子树信息进行统计（链上的信息在某些条件下也可以统计

用什么来做呢？暴力？树上差分？树上莫队？

今天要介绍的这种算法将吊打以上

有请它闪亮登场——dsu on tree！！！

看到这个名字，嗯？dsu？不是并查集嘛（至少我第一眼是这么想的），树上并查集？
其实它和并查集没有半毛钱关系，用dsu这个名字可能只是因为它和并查集都运用了一种思想——启发式合并

什么意思呢？还记得我们并查集的按秩合并吗？

在这个合并的过程中我们把小的集合合并到了大集合中去

同样的树上启发式合并实际就是把一棵高度小的子树合并到了大的子树去，这样的一个优化。

算法内容

先思考下面这个问题

给定一棵树树的每个结点都有一个确定的颜色，询问一些子树的颜色数量（颜色可以重复）

我们先想想O（N²）的暴力做法

对于每个节点，暴力遍历子树，将它们的数据统计出来得到当前节点的答案，然后再暴力将这棵子树的数据清空，以免影响到别的节点。

由于空间的限制，我们不可能对于每一个节点开一个数组来记录数据，只能开一个全局数组。
在这个全局数组内，如果不清空，就会影响到别的子树，答案混淆于是导致WA

轻重链剖分优化

对于节点x，

可以发现，每个节点的答案由其子树和其本身得到，考虑利用这个性质处理问题。

首先我们可以先预处理出每个节点子树的size和它的重儿子，重儿子同树链剖分一样，是拥有节点最多子树的儿子，这个过程显然可以O(n)完成

接下来，对于每一个结点，我们按照这样的方式进行遍历

遍历所有轻儿子，递归结束时消除它们的贡献
遍历所有重儿子，保留它的贡献
再计算当前子树中所有轻子树的贡献
更新答案
如果当前点是轻儿子，消除当前子树的贡献

这样，对于一个节点，我们遍历了一次重子树，两次非重子树，显然是最划算的。

通过执行这个过程，我们获得了这个节点所有子树的 ans

思路已经很清晰了，通过这样的优化，最终的时间复杂度我们发现应该为那么总复杂度就是

根据树链剖分相关理论，每个点到根的路径上有logn条重链与logn条轻链
即一个点的信息只会上传logn次（详细证明暂且不写，如需可查阅其他大佬证明）

大致的代码如下所示（随便口糊的，不要真的去测，有个思路就好）

预处理：

inline void dfs1(int x,int fa){
    size[x]=1;
    //depth 
    for(int i=head[x];i;i=t[i].nxt){
        int to=t[i].to;
        if(to!=fa){
            dfs1(to,x);
            size[x]+=size[to];
            if(size[to]>size[son[x]])
                son[x]=to;
        }
    }
}//dfs预处理

求ans

inline int dfs2(int u,int fa,int isson,int keep){
    if(keep){
        for(int i=head[u];i;i=t[i].nxt){
            int to=t[i].to;
            if(to!=fa&&to!=son[u]){
                dfs2(to,u,0,1);
            }
        }
    }
    int tmp=0;
    if(!keep&&son[u])tmp+=dfs2(son[u],u,1,0);
    else if(son[u]) tmp+=dfs2(son[u],u,1,1);
    for(int i=head[u];i;i=t[i].nxt){
        int v=t[i].to;
        if(v!=fa&&v!=son[u]){
            tmp+=dfs2(v,u,0,0);
        }
    }
    if(!cnt[c[u]]){
        tmp++;
    }
    cnt[c[u]]++;
    if(keep)ans[u]=tmp;
    if(keep&&!isson) memset(cnt,0,sizeof(cnt));
    return tmp;
}

练习

给一些很不错的例题

$CF600E Lomsat gelral$

$UOJ284 快乐游戏鸡$

$树上数颜色$

CF208E Blood Cousins

CF570D Tree Requests

CF246E Blood Cousins Return

U95602 射手座之日

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轻重链剖分优化

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