题解 | #2024牛客寒假算法基础集训营1#

https://zhuanlan.zhihu.com/p/681154402

A

$O(\sum n)$ 。

#include "bits/stdc++.h"

using namespace std;
using i64 = long long;

void solve() {
    int n;
    string s;
    cin >> n >> s;
    
    string t[] = {"DFS", "dfs"};
    for (int i = 0; i < 2; i++) {
        int k = 0;
        for (int j = 0; j < n && k < 3; j++) {
            if (t[i][k] == s[j]) {
                k++;
            }
        }
        cout << (k == 3) << " \n"[i == 1];
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        solve();
    }

    return 0;
}

B

答案最大为 $3$ ，最坏的情况是堵住 $(2,0),(1,-1),(1,1)$ 。

$\text{ans0}$ 表示的是阻止鸡到左边需要添加的着火点， $\text{ans1}$ 表示的是阻止鸡到右边需要添加的着火点。

$O(\sum n\log n)$ 。

#include "bits/stdc++.h"

using namespace std;
using i64 = long long;

void solve() {
    int n;
    cin >> n;
    set<pair<int, int>> s;

    int ans0 = 2, ans1 = 2;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int r, c;
        cin >> r >> c;
        s.insert({r, c});
        if (c <= 0) {
            ans0 = 1;
        }
        if (c >= 0) {
            ans1 = 1;
        }
    }

    for (auto [r, c] : s) {
        for (int i = -1; i < 2; i++) {
            if (s.count({r ^ 3, c + i})) {
                if (c < 0) {
                    ans0 = 0;
                }
                if (c > 0) {
                    ans1 = 0;
                }
            }
        }
    }

    int ans = 3 - s.count({2, 0}) - s.count({1, -1}) - s.count({1, 1});
    
    cout << min(ans, ans0 + ans1) << '\n';
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        solve();
    }

    return 0;
}

C

$t_i$ 小的排前面。

贪心，前缀和。

$O(n\log n q)$

#include "bits/stdc++.h"

#define range(a) begin(a), end(a)

using namespace std;
using i64 = long long;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int n, q, tc;
    cin >> n >> q >> tc;
    vector<int> t(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> t[i];
    }
    sort(range(t));

    vector<i64> sum(n + 1);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        sum[i + 1] = sum[i] + t[i];
    }

    while (q--) {
        i64 m;
        cin >> m;

        int c = min(i64(n), m / tc);
        cout << sum[n - c] + tc << '\n';
    }

    return 0;
}

D

$10^{9}$ 分解为若干个不同的数的乘积，不大于 $20$ 个。

把所有有可能的数存到 $\text{set}$ 里，设为 $k$ 个。

$O(n\log n 400 \sqrt{10^{9}} q\log k)$ 。

#include "bits/stdc++.h"

#define range(a) begin(a), end(a)

using namespace std;
using i64 = long long;

constexpr int K = 4E4;
constexpr int inf = 1E9 + 1;

int power(int a, int b) {
    int res = 1;
    for (; b; b >>= 1) {
        if (b & 1) {
            if (abs(i64(res) * a) > inf) {
                return inf;
            }
            res *= a;
        }
        if (abs(i64(a) * a) > inf) {
            a = inf;
        } else {
            a *= a;
        }
    }
    return res;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int n, q;
    cin >> n >> q;
    vector<int> a(n);
    map<int, int> cnt;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
        cnt[a[i]]++;
    }
    sort(range(a));
    a.erase(unique(range(a)), a.end());
    int N = a.size();
    
    set<int> s{0};
    if (N <= 20) {
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            for (int k = -K - a[i]; k <= K - a[i]; k++) {
                int res = 1;
                for (int j = 0; j < N; j++) {
                    int x = a[j] + k, y = cnt[a[j]];
                    int v = power(x, y);
                    if (abs(i64(res) * v) > inf) {
                        res = inf;
                        break;
                    }
                    res *= v;
                }
                if (abs(res) < inf) {
                    s.insert(res);
                }
            }
        }
    }

    while (q--) {
        int m;
        cin >> m;

        cout << (s.count(m) ? "Yes" : "No") << '\n';
    }

    return 0;
}

E

类似于子集枚举，也可以使用 $\text{dfs}$ 。

$O(\sum n 3^{m} (n m))$ 。

#include "bits/stdc++.h"

using namespace std;
using i64 = long long;

void solve() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    vector<int> a(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
    }   

    vector<pair<int, int>> b(m);
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        auto &[u, v] = b[i];
        cin >> u >> v;
        u--, v--;
    }

    int K = 1;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        K *= 3;
    }

    int ans = n;
    for (int mask = 0; mask < K; mask++) {
        auto c = a;
        for (int i = 0, x = mask; i < m; i++, x /= 3) {
            auto [u, v] = b[i];

            if (x % 3 == 0) {
                c[u] += 3;
            } else if (x % 3 == 1) {
                c[v] += 3;
            } else {
                c[u]++, c[v]++;
            }
        }
        
        int k = 1;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            k += (c[i] > c[0]);
        }
        ans = min(ans, k);
    }
    cout << ans << '\n';
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        solve();
    }

    return 0;
}

F

问题转变为 $n$ 个不同的小球放在 $m$ 个相同的箱子里，求方案数，这是第二类斯特林数。

百度百科第二类斯特林数。

Stirling

预处理组合数。

$O(m\log n)$ 。

#include "bits/stdc++.h"

using namespace std;
using i64 = long long;
constexpr int P = 1000000007;

i64 *fac, *ifac;

i64 power(i64 a, i64 b, int p = P) {
    i64 res = 1;
    for (; b; b >>= 1, a = a * a % p) {
        if (b & 1) {
            res = res * a % p;
        }
    }
    return res;
}

i64 inv(i64 x) {
    return power(x, P - 2);
}

void init(int N) {
    fac = new i64 [N + 1];
    ifac = new i64 [N + 1];
    fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        fac[i] = fac[i - 1] * i % P;
    }
    ifac[N] = inv(fac[N]);
    for (int i = N - 1; i >= 0; i--) {
        ifac[i] = ifac[i + 1] * (i + 1) % P;
    }
}

i64 C(int n, int m) {
    if (m < 0 || m > n || n < 0) {
        return 0;
    }
    return fac[n] * ifac[m] % P * ifac[n - m] % P;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int n, m;
    cin >> n >> m;

    init(m);

    i64 ans = 0;
    for (int k = 0; k <= m; k++) {
        if (k % 2 == 0) {
            ans = (ans + C(m, k) * power(m - k, n) % P) % P;
        } else {
            ans = (ans - C(m, k) * power(m - k, n) % P + P) % P;
        }
    }
    cout << ans * ifac[m] % P << '\n';

    return 0;
}

G

前缀和。

$O(\sum n\log n)$ 。

#include "bits/stdc++.h"

#define range(a) begin(a), end(a)

using namespace std;
using i64 = long long;

void solve() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    vector<pair<int, int>> a(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i].first >> a[i].second;
    }
    sort(range(a));

    vector<i64> sum(n + 1);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        sum[i + 1] = sum[i] + a[i].second;
    }

    i64 ans = m;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (a[i].first - sum[i + 1] <= m) {
            ans = sum[i + 1] + m;
        }
    }
    cout << ans << '\n';
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        solve();
    }

    return 0;
}

H

位运算，考虑小于等于 $m$ 的数的二进制 $1$ 的位。

$\text{lowbit}$ 。

$O(\sum n\log m)$ 。

#include "bits/stdc++.h"

using namespace std;
using i64 = long long;

void solve() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    vector<int> v(n), w(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> v[i] >> w[i];
    }

    auto get = [&](int x) {
        i64 res = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if ((x & w[i]) == w[i]) {
                res += v[i];
            }
        }
        return res;
    };

    i64 ans = get(m);
    for (int i = m; i; i -= i & -i) {
        ans = max(ans, get(i - 1));
    }
    cout << ans << '\n';
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        solve();
    }

    return 0;
}

I

第一种生成的圆的圆心会更加分散，并且每个区域会更加平均。第二种生成的圆的圆心会更加靠近中间。

圆心会落在 $[-99,99]$ 。

那么我们只要取一个中间区域的圆心数量，就可以判断是第一种还是第二种。

圆心 $(x,y)$ ， $x,y$ 都在 $[-9,9]$ 的概率为 $(\frac{19}{199})^{2}$ ，略取大一点 $\frac{1}{90}$ ， $(\frac{19}{199})^{2}<\frac{1}{90}$ 。

$O(n)$ 。

#include "bits/stdc++.h"

using namespace std;
using i64 = long long;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int n;
    cin >> n;

    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int x, y, r;
        cin >> x >> y >> r;
        if (x <= 9 && x >= -9 && y <= 9 && y >= -9) {
            ans++;
        }
    }
    
    if (ans <= n / 90) {
        cout << "bit-noob\n";
    } else {
        cout << "buaa-noob\n";
    }

    return 0;
}

K

置换环。

$O(n)$ 。

#include "bits/stdc++.h"

#define range(a) begin(a), end(a)

using namespace std;
using i64 = long long;
constexpr int P = 998244353;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n);
    vector<string> s(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i] >> s[i];
        a[i]--;
    }

    i64 ans = 1;
    vector<int> vis(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int j = i;
        vector<int> c;
        for (; !vis[j]; j = a[j]) {
            vis[j] = 1;
            c.push_back(j);
        }
        
        auto it = find(range(c), j);
        if (it != c.end()) {
            c.erase(c.begin(), it);
            int res = 0;
            for (char st = 'A'; st < 'F'; st++) {
                char cur = st;
                for (auto x : c) {
                    cur = s[x][cur - 'A'];
                }
                res += (cur == st);
            }
            ans = ans * res % P;
        }
    }
    cout << ans << '\n';
    
    return 0;
}

L

算梯形面积。

$O(t)$ 。

#include "bits/stdc++.h"

using namespace std;
using i64 = long long;

void solve() {
    int c, d, h, w;
    cin >> c >> d >> h >> w;

    cout << 3LL * w * c << '\n';
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        solve();
    }

    return 0;
}

M

$O(t)$ 。

#include "bits/stdc++.h"

using namespace std;
using i64 = long long;

void solve() {
    int n;
    cin >> n;
    if (n % 6 == 0) {
        cout << n / 6 << '\n';
    } else {
        cout << n / 6 * 2 << '\n';
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        solve();
    }

    return 0;
}