题目难度

中等

推荐理由

考验对背包问题的理解

题目知识点

分组背包，0/1背包

题意

农夫约翰有预算 ,有 台游戏机，每台游戏机价格为 。每台游戏机有个独立游戏，只有买了这台游戏机才能玩对应的游戏，每个游戏价格为 ，玩了之后奶牛产量增加 。问应该买哪些游戏机和游戏，使得奶牛产量最大，求最大产量。
其中，。

解题思路

第一反应：这不是 NOIP2006金明的预算方案 吗？那么这就是一个简单的分组背包问题！！！！
关于分组背包，我这里简要说说。分组背包是这样一种题：
有容量为 的背包，有 个组，每个组有 个组合，每个组合重量为 ,价值为 ，每个组只能选一个组合，求最大价值和。
其实每个组是独立的，所以我们每次单独考虑一个组。设 为背包容量为 的最大价值和，考虑每个组合选不选，我们有转移方程：
但是，这样子也许会带来一个问题：如果我们先枚举组合，再枚举容量，无法保证只选取了一个组合。
要保证只选取一个组合怎么办呢？我们先从大到小枚举容量 ，再枚举组合，就可以避免这个问题，因为 只会被没选过该组组合的转移而来，这个可能需要读者稍微思考一下。
那么回到这题，我们把每一个游戏机能形成的组合记录下来，每次跑一遍 0/1背包即可。
代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
#define N 100005
using namespace std;
int f[N], cnt[55], w[55][1050], v[55][1050], p[11], q[11];
int main(){
    int i, j, k, n, m, a, b, s1, s2;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(i = 1; i <= n; i++){
        scanf("%d%d", &a, &b);
        for(j = 0; j < b; j++) scanf("%d%d", &p[j], &q[j]);
        for(j = 0; j < (1 << b); j++){
            s1 = s2 = 0;
            for(k = 0; k < b; k++){
                if((1 << k) & j) s1 += p[k], s2 += q[k];
            }
            if(a + s1 > m) continue;
            cnt[i]++;
            w[i][cnt[i]] = a + s1;
            v[i][cnt[i]] = s2;
        }
    }
    for(i = 1; i <= n; i++){
        for(j = m; j >= 0; j--){
            for(k = 1; k <= cnt[i]; k++){
                if(j >= w[i][k]) f[j] = max(f[j], f[j - w[i][k]] + v[i][k]);
            }
        }
    }
    printf("%d", f[m]);
    return 0;
}

然而，光荣TLE了！
这样子的复杂度是 的！一看数据范围，当场自闭！
数据范围提示我们，复杂度应该是 的。
那么怎么做呢？如果我们令 表示前 个游戏机，花费 元的最大产量。想一想怎么转移。

  • 考虑买第个游戏机
    由于游戏机是必买的，先不考虑买游戏，有 。
    接下来考虑买游戏，每个游戏可买可不买，其实就是对第 维做一次 0/1 背包嘛，转移方程：。注意这里是对第 维做0/1背包，和第 维无关。
  • 考虑不买第 个游戏机
    这个很简单，就行了。

来到这里这题就做完了。
不过还有一个要注意的地方，在实现的时候这两部分是有顺序的，也就是必须先考虑买游戏机，再考虑不买游戏机。这个是为什么呢？其实是因为我们偷懒，直接把 的第 维拿来做 0/1 背包了。。如果用 单独表示第 维用了 元的最大产量，就不用管顺序了。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
#define N 100005
using namespace std;
int f[55][N];
int main(){
    int i, j, k, n, m, a, b, w, v;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(i = 1; i <= n; i++){
        scanf("%d%d", &a, &b);
        for(j = m; j >= a; j--) f[i][j] = f[i - 1][j - a];//必须买游戏机 
        for(j = 1; j <= b; j++){
            scanf("%d%d", &w, &v);
            for(k = m; k >= w + a; k--){//01背包，注意 k 是枚举到 w + a 
                f[i][k] = max(f[i][k], f[i][k - w] + v);
            }
        }
        for(j = 0; j <= m; j++) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j]);//不买游戏机 
    }
    printf("%d", f[n][m]);
    return 0;
}