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LeetCode 69. x 的平方根[1]

题目描述

实现 int sqrt(int n) 函数。

计算并返回 n 的平方根，其中 n 是非负整数。

由于返回类型是整数，结果只保留整数的部分，小数部分将被舍去。

示例1 

        输入：
4
输出：
2

示例2 

        输入：
8
输出：
2
解释：
8 的平方根是 2.82842..., 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

题解

为了更加通用，我们这里直接实现 double sqrt(double n) 函数。也就是求出 的精确值，然后取整就行了。

今天要教给大家的主要有三种方法：牛顿法、二分法和梯度下降法，速度上是依次下降的。

首先令 ，也就是 ，也就是我们要求 的零点。

如果我们把 当作某个函数的导数，那么原函数就是 ，它的导数就是 。

现在问题很明朗了，要求 的值，等价于求 的根，等价于求 f(x) 的极小值点（因为导数在非负数区间上零点唯一）。

牛顿法

求 的根可以采用牛顿法。

首先选取一个初值 x_0 ，然后在函数 (x_0, f'(x_0)) 处作切线，求出切线与 x 轴交点 。接着将交点坐标作为新的 x_0 ，然后重复上面步骤，直到 f'(x_0) 和 0 差值小于某个阈值。

直接给出计算得到的更新公式吧，大家也可以自己通过切线方程推导一下：

还可以通过泰勒展开得到这个公式，这里就不详细阐述了。

梯度下降法

求 f(x) 的极小值点可以采用梯度下降法。

首先选取一个初值 x_0 ，然后按照 f(x_0) 的导数的逆方向更新 x_0 ，具体更新多少取决于你设置的学习率 lr 。

更新公式就是：

二分法

这就是很普通的二分方法了，因为 f'(x) 在 区间上是单调递增的，所以可以采用二分法求出零点，这里就不赘述了。

速度比较

我运行了一下从 100 到 10000 每 100 个数开根号的结果，统计了一下三种方法需要的计算次数，如下图所示：

v2-22b6304ab99a49563c064997ad75c8aa_b.jpg


可以发现，牛顿法和二分法都是速度很快的，随着 n 增大，需要的次数越来越多。但是梯度下降法的次数和学习率关系很大，学习率大了可能收敛次数变小，但是可能不收敛（左右振荡）。随着 n 的增大，梯度下降法所需要的次数反而下降了，因为 n 越大，函数越陡峭， x_0 处的导数就越大，这样 x_0 的更新幅度特别大。但是 n 特别大了以后，梯度下降法需要的时间就非常长了，学习率不是很好设置了。而导数也已经超出了 int 范围，实现上也不是很方便。

具体实现

具体实现上这题有几个注意的点，因为这题只要求你返回取整结果，所以要特别当心浮点数误差。

而梯度下降法实现时，学习率不能太大，不然会产生振荡，此外还会导致 x_0 更新幅度过大，直接变成负数，然后就陷入了死循环。

代码

c++ 

        class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        long y = int(newtonSqrt(x)) + 1;
        return y*y > x ? y-1 : y;
    }

    double newtonSqrt(double n) {
        double x0 = n;
        while (abs(x0*x0-n) >= 1e-6) {
            x0 = 0.5*(n/x0+x0);
        }
        return x0;
    }

    double binarySqrt(double n) {
        double l = 0, r = n;
        while (r-l >= 1e-6) {
            double m = (l+r)/2;
            if (m*m < n) l = m;
            else r = m;
        }
        return r;
    }

    // 超时     double gdSqrt(double n) {
        double x0 = n;
        while (abs(x0*x0-n) >= 1e-6) {
            double lr = min(1e-3, 1e-1*x0/(x0*x0-n));
            x0 = x0-lr*(x0*x0-n);
        }
        return x0;
    }
};

参考资料

[1]

LeetCode 69. x 的平方根: leetcode-cn.com/problem