学军信友队趣味网络邀请赛 B.齐心抗疫
题意
给你一棵每条边均为1的树,求任意两点距离乘两端点中大的那个数的乘积最大为多少?
思路
题意转化为公式就是求 dis[x][y]∗max(a[x],a[y])
那么难点就在于求任意两点间的距离了。
这时候要抓住条件:这是一棵树!
利用树的直径的性质DFS三次即可。
树的直径:若树上两点 u,v间的最短路径最大,那么该路径的长度称为树的直径。(可以存在多条)
- 树上任意一点到树上其他点的最大最短路径一定为到两端点 u,v其中大的那一个(可以相等)
我们写一个DFS,返回值为到给定点 k 的最远点的结点编号,并用一个数组记录所有点到点 k 的最短路径为多少。
我们先对任意一个点 i 进行DFS,记录他的返回值为 x ,有上述性质可知 x 一定为到树的直径中的一个端点,我们同时记录了到 i 的距离放入数组 dx 中。
我们再对 x 进行一次DFS,记录他的返回值 y,记录到 x 的距离记录到数组 dx 中。
最后对 y进行一次DFS,记录它的返回值 x,记录到 y 的的距离到数组 dy 中。
之所以求三次dfs是因为第一次的距离是没法使用的。求端点的话两次dfs就够了
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const double eps = 1e-8;
const int NINF = 0xc0c0c0c0;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll mod = 1e9 + 7;
const ll maxn = 1e6 + 5;
const int N = 5e5 + 5;
int n,a[N],dx[N],dy[N];
vector<int>G[N];
int dfs(int x,int pre,int *d){
int res=x;
for(auto y:G[x]){
if(y!=pre){//遍历子节点排除父节点
d[y]=d[x]+1;
int now=dfs(y,x,d);
if(d[now]>d[res]) res=now;
}
}
return res;
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
for(int i=1;i<n;i++){
int u,v;
cin>>u>>v;
G[u].push_back(v);
G[v].push_back(u);
}
int x=dfs(1,-1,dx);
memset(dx,0,sizeof(dx));
int y=dfs(x,-1,dx);
x=dfs(y,-1,dy);
ll ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
ans=max(ans, (ll)max(dx[i] * max(a[i], a[x]), dy[i] * max(a[i], a[y])) );
cout<<ans<<'\n';
return 0;
}