最短路算法总结

Dijkstra算法

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。

最常见的问题就是：给你一张地图，让你求出指定的点到其余各定点的最短路径。

算法核心：每次找到离源点最近的一个顶点，然后以该顶点为中心进行扩展，最终的到源点到其余所有点的最短路径。算法的时间复杂度为O(N2)，空间复杂度为O(N3)。

基本步骤如下：

  1. 将所有的顶点分为两部分：已知最短路程的顶点集合P和未知最短路径的顶点集合Q。最开始，已知最短路径的顶点集合P中只有源点和一个顶点。这里用book数组来记录哪些点在集合P中。例如对于某个顶点i，如果book[i]为1则表示这个顶点在集合P中，如果book[i]为0则表示这个顶点在集合Q中。
  2. 设置源点s到自己的最短路径为0即dis[s]=0。若存在有源点能直接到达的顶点i，则把dis[i]设为e[s][i]。同时把所有其他（源点不能直接到达的）顶点的最短路径设为∞。
  3. 在集合Q的所有顶点中选择一个离源点s最近的顶点u（即dis[u]最小）加入到集合P。并考察所有以点u为起点的边，对每一条边进行松弛操作。例如存在一条从u到v的边，那么可以通过将边u→v添加到尾部来拓展一条从s到v的路径，这条路径的长度是dis[i]+e[u][v]。如果这个值比目前已知的dis[v]的值要小，我们可以用新值来替代当前dis[v]中的值。
  4. 重复第3步，如果集合Q为空，算法结束。最终dis数组中的值就是源点到所有顶点的最短路径。

Dijkstra算法核心代码：

for (i = 1; i < n; i++) {//最后一个点没有出边
    min = inf; //找到离1号顶点最近的顶点
    for (j = 1; j <= n; j++) {
        if (book[j] == 0 && dis[j] < min) {//book用来表示此点不是最终确定的最短距离点
            min = dis[j]; //更新1到j的最短距离
            u = j; //记下此时离1号顶点最近的点
        }
    }
    book[u] = 1; //将此点加入最短距离点
    for (v = 0; v <= n; v++) {
        if (map[u][v] < inf) {//判断当前最短距离点到v是否小于inf
            if (dis[v] > dis[u] + e[u][v]) //判断当前的1到v的距离是否小于（1到u加上u到v）的距离，如果是就更新dis[v]的值
                dis[v] = dis[u] + e[u][v];
        }
    }
}

Floyd算法

Floyd(弗洛伊德)算法是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题。

最常见的问题就是：给你一张地图，求任意两点之间的最短路径。

算法核心：每次引入一个点k来更新i到j最短距离，求出任意两点之间的最短距离。

算法的时间复杂度为O(N3)，空间复杂度为O(N2)。

基本步骤如下：

  1. 从任意一条单边路径开始，所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。
  2. 对于每一对顶点u和v，看看是否存在一个顶点w使得从u到w再到v比己知的路径更短，如果是更新它。
  3. 对于所有的顶点，都重复上面的操作，直到遍历所有的顶点。

Floyd算法核心代码：

for (k = 1; k <= n; k++)
    for (i = 1; i <= n; i++)
        for (j = 1; j <= n; j++)
            if (e[i][j] > e[i][k] + e[k][j]) //如果i到j城市的路径小于从i到k再从k到j,就更新e[i][j]的值
                e[i][j] = e[i][k] + e[k][j];