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1、BP（Back propagation）神经网络描述
（1）BP（反向传播(Back Propagation)）神经网络是一种按照误差逆向传播算法训练的多层前馈神经网络，是目前应用最广泛的神经网络之一。
（2）该网络的主要特点是信号的正向传播，误差反向传播
（3）BP神经网络主要分为两个过程：
第一个过程是信号的正向传播（前向传播），从输入层经过隐藏层，最后到达输出层；
第二个过程是误差的反向传播，从输出层到隐藏层，最后到输入层，依次调节隐藏层到输出层的权重和偏置，输入层到隐藏层的权重和偏置。
2、BP神经网络的向前传播
（1）前向传播算法的数学定义（偏置项和权重）（加权求和+激活函数）
（2）偏置项和激活函数
偏置项：
是神经网络中非常常用的一种结构
与线性方程 y=wx+b 中的 b 的意义是一致的，在 y=wx+b中，b表示函数在y轴上的截距，控制着函数偏离原点的距离。
激活函数：
加入非线性因素，实现去线性化，解决线性模型不能解决的问题
常用激活函数如下：
3、BP神经网络的代价函数（损失函数）
（1）二次代价函数（均方误差函数）
单变量线性回归二次代价函数
建模误差的平方和（预测值与真实值）
多变量线性回归二次代价函数
二分类问题和回归问题，一般用二次代价函数（均方误差函数）
比如:
对于判断零件是否合格的二分类问题，神经网络的输出层有一个节点。当这个节点越接近0时越有可能不合格，越接近1时越有可能合格。具体分类结果可以选择0.5作为阈值，小于0.5则不合格，大于0.5则合格。
神经网络解决多分类问题
用n维数组作为输出结果，如果样本属于类别k，那么这个类别所对应的的输出节点的输出值应该为1，其他节点的输出都为0
例如：[0,0,0,0,0,0,0,1,0,0]
那么神经网络的输出结果越接近[0,0,0,0,0,0,0,1,0,0]越好
如何判断一个输出向量和期望的向量有多接近呢？
这就用到了交叉熵
（2）交叉熵
交叉熵是刻画两个概率分布之间的距离，也是分类问题中使用比较广泛的一种损失函数
给定两个概率分布p和q,通过q来表示p的交叉熵：
该公式表示通过概率分布q来表达概率分布p的困难程度（p代表的正确答案，q代表的是预测值）
概率分布p(X=x)满足：
但是神经网络的输出不一定是一个概率分布，所以需要在神经网络的输出层添加一个Softmax层（即Softmax回归）
Softmax模型可以用来给不同的对象分配概率
假设原始的神经网络输出为y1,y2……yn，那么经过Softmax回归处理之后的输出为：
Softmax举例
交叉熵举例：
交叉熵刻画的是两个概率分布的距离，即交叉熵的值越小，两个概率分布越接近。
假设有一个三分类问题：
某个样例的正确答案是（1,0,0）
某模型经过Softmax回归之后的***是（0.5,0.4,0.1）
则这个预测和正确答案之间的交叉熵为：
另外一个模型的***是（0.8,0.1,0.1）
则预测值和真实值之间的交叉熵为：
4、BP神经网络的反向传播
（1）梯度下降算法
主要用于优化单个参数的取值
举例：
如下图：X轴表示参数θ的取值；Y轴表示损失函数J(θ)的值
参数更新公式：
例如损失函数为J(X)=x² ,学习率为0.3
（2）反向传播算法
在所有的参数上使用梯度下降算法，从而使神经网络模型在训练数据集上的损失函数达到一个较小的值
反向传播算法是训练神经网络模型的核心算法，它可以根据定义好的损失函数优化神经网络中参数的取值
神经网络中一般选用批量梯度下降算法
5、BP神经网络优化过程总结
（1）定义神经网络的结构，通过前向传播算法计算得到预测值
（2）定义损失函数，计算预测值和真实值两者之间的差距
（3）选择反向传播优化算法，计算损失函数对每一个参数的梯度
（4）根据梯度和学习率使用梯度下降算法更新每一个参数
（5）在训练数据上反复运行反向传播优化算法，训练神经网络
BP神经网络实现MNIST手写数字识别实战：TensorFlow——MNIST手写数字识别
6、BP神经网络的进一步优化
（1）学习率（learning rate）的设置
学习率控制参数更新的速度，决定了每次参数更新的幅度。
如果学习率过大：可能导致参数在极优值的两侧来回移动。
例如：优化J(x)=x²函数，如果在优化过程中使用学习率为1
那么整个优化过程如下：
从结果可以看出：无论进行多少轮迭代，参数将在-5和5之间摇摆，而不会收敛到一个极小值
如果学习率过小，虽然能保证收敛性，但是会大大降低优化速度。
所以学习率既不能过大，也不能过小
TensorFlow中提供了一种更加灵活的学习率设置方法——指数衰减法
（指数衰减法可以先使用较大的学习率来快速得到一个比较优的解，然后随着迭代的继续逐步减小学习率，使得模型在训练后期更加稳定）
（2）过拟合问题
增加数据集
正则化方法
正则化的思想：在损失函数中加入刻画模型复杂程度的指标
假设用于刻画模型在训练数据上表现的损失函数为J(θ)，那么在优化时不是直接优化J(θ)，而是优化J(θ)+ λR(w)（其中R(w)刻画的模型的复杂度，而λ表示模型复杂损失在总损失中的比例）
注意：这里的θ表示的是一个神经网络中的所有参数，它包括边上的权重w和偏置项b,一般来说模型复杂度只由权重w决定
常用刻画模型复杂度的函数R(w)有两种:
一种是L1正则化，计算公式如下：
一种是L2正则化，计算公式如下：
两种正则化方式的基本思想：通过限制权重大小，使模型不能任意拟合训练数据中的随机噪音
在实践中也可以将L1正则化和L2正则化同时使用，如下公式：
Dropout方法
dropout并不会修改代价函数而是修改深度网络本身
dropout是指在深度学习网络的训练过程中，对于神经网络单元，按照一定的概率将其暂时从网络中丢弃
（3）多层网络解决异或运算
异或运算直观来说就是如果两个输入的符号相同时（同时为正或同时为负），则输出为0，否则（一个正一个负）输出为1
深层神经网络有组合特征提取的功能，这个特性对于解决不易提取特征向量的问题（比如图片识别、语音识别等）有很大帮助。
参考书籍：《TensorFlow实战 Google深度学习框架》
吴恩达机器学习教程
神经网络游乐场：http://playground.tensorflow.org
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