01背包

每件物品只有一个

朴素算法

分为两种情况：①不选第i个物品 f [ i − 1 ] [ j ] f[i-1][j] f[i−1][j]

​ ②选第i个物品 状态方程可以由 f [ i − 1 ] [ j − v ] + w f[i-1][j-v] + w f[i−1][j−v]+w得到

f [ i − 1 ] [ j − v ] + w f[i-1][j-v] + w f[i−1][j−v]+w表示前 i − 1 i - 1 i−1个物品取总体积不超过 j − v j - v j−v的最大价值加上第 i i i个物品的价值( v , w v,w v,w)分别表示第 i i i个物品的体积和价值

for (int i = 1;i <= n;++i) {
   
	for (int j = 0;j <= m;++j) {
   
		f[i][j] = f[i - 1][j];
		if (j >= v[i])f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
	}
}
cout << f[n][m] << endl;

优化成一维

因为对第 i i i维的判断只用到了 i − 1 i- 1 i−1维，所以可以用滚动数组的思想 由朴素的算法可知 i i i维都是由 i − 1 i-1 i−1维转移过来的 如果对 j j j从小到大枚举 计算到 f [ j ] f[j] f[j]时 此时的 f [ j − v [ i ] ] f[j-v[i]] f[j−v[i]]小于 f [ j ] f[j] f[j]已经被更新到第 i i i维 所以要对 j j j从大到小枚举

for (int i = 1;i <= n;++i) {
   
	for (int j = m;j >= v[i];--j) {
   
		f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
	}
}

##　完全背包

每件物品有无限多个

###　朴素算法

f [ i ] [ j ] = m a x ( f [ i ] [ j ] , f [ i − 1 ] [ j − k ∗ v [ i ] ] + k ∗ w [ i ] ) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i−1][j−k∗v[i]]+k∗w[i])与01背包类似

for (int i = 1;i <= n;++i) {
   
	for (int j = 0;j <= m;++j) {
   
		for (int k = 0;v[i] * k <= j;++k) {
   
			f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
		}
	}
}

优化做法

易知 f [ i , j ] = Max ⁡ ( f [ i − 1 , j ] , f [ i − 1 , j − v ] + w , f [ i − 1 , j − 2 v ] + 2 w , f [ i − 1 , j − 3 v ] + 3 w , … ) f[i, j]=\operatorname{Max}(f[i-1, j], f[i-1, j-v]+w, f[i-1, j-2 v]+2 w, \quad f[i-1, j-3 v]+3 w, \ldots) f[i,j]=Max(f[i−1,j],f[i−1,j−v]+w,f[i−1,j−2v]+2w,f[i−1,j−3v]+3w,…)

f [ i , j − v ] = Max ⁡ ( f [ i − 1 , j − v ] , f [ i − 1 , j − 2 v ] + w , f [ i − 1 , j − 3 v ] + 2 w , … ) f[i, j-v]=\operatorname{Max}(\quad\quad\quad f[i-1, j-v], \quad\quad f[i-1, j-2 v]+w, \quad f[i-1, j-3 v]+2 w, \ldots) f[i,j−v]=Max(f[i−1,j−v],f[i−1,j−2v]+w,f[i−1,j−3v]+2w,…)

所以 f [ i , j ] = M a x ( f [ i − 1 , j ] , f [ i , j − v ] + w ) f[i,j] = Max(f[i-1,j],f[i,j-v] + w) f[i,j]=Max(f[i−1,j],f[i,j−v]+w)

for (int i = 1;i <= n;++i) {
   
	for (int j = 0;j <= m;++j) {
   
		f[i][j] = f[i - 1][j];
		if(j >= v[i])f[i][j] = max(f[i][j],f[i][j -v[i]] + w[i]);
	}
}

优化成一维

在计算 f [ j ] f[j] f[j]时 因为 j − v [ i ] j - v[i] j−v[i]小于 j j j 所以此时的 f [ j − v [ i ] ] f[j - v[i]] f[j−v[i]]被更新到了第 i i i维 与原式相符 所以 j j j不需要从大到小枚举

for (int i = 1;i <= n;++i) {
   
	for (int j = v[i];j >= m;++j) {
   
		f[j] = max(f[j],f[j -v[i]] + w[i]);
	}
}