基础数论算法

首先，它们这些算法十分基础，基础到并不包含莫比乌斯反演什么的，所以仅仅当做娱乐性质的文章

内容一览

由于数论中的算法较多，下面先进行一个小汇总

当然啦，都是一些比较基础的东西，意思是需要数学基础的东西

下面将进行逐个讲解

详解

素数的筛法

原理

我们很多时候用的是朴素的质数筛法，即我们按照2到 n 进行筛去，记录一个 vis 数组表示当前数是否为质数即可

代码

但是还有一种 O(n) 的方法，即欧拉筛法，每次让每一个数只被它所含有的最小的质因子筛去，详情见代码

代码

void construct_prime_table(LL range){
    for(LL i=2;i<range;i++){
        if(!vis[i])pt[cnt++]=i;
        for(int j=0;j<cnt;j++){
            if(i*pt[j]>=range)break;
            vis[i*pt[j]]=1;
            if(i%pt[j]==0)break;
        }
    }
}

最大公约数(GCD)

原理

这个东西其实非常简单啦，我们可以使用辗转相除法或是更相减损法，但是下面只贴辗转相除法的代码，而更相减损法也有它的用武之地，那就是在求两个巨大的高精度数的时候，用于 Stein 算法，其他文章会予以介绍

下面贴代码

代码

LL gcd(LL x,LL y){
   if(y==0)return x;
   return gcd(y,x%y);
}

扩展GCD算法

原理

主要是来源于数论中的裴蜀定理，然后思路与原GCD十分相近，可以求出使得

ax+by=gcd(x,y)

成立且 |a|+|b| 最小的一组解 (a,b)

下面贴代码

代码

void patulous_gcd(LL a,LL b,LL& d,LL& x,LL& y){
    if(b==0){d=a;x=1;y=0;return;}
    patulous_gcd(b,a%b,d,y,x);y-=a/b*x;
}

质因数分解法

原理

这里介绍朴素的算法，即 O(n√) 的那个，虽然有更先进的算法，但是我并不会，下面直接贴代码

代码

void prime_factorization(LL x){
    for(LL i=2;i<=(LL)sqrt(x);i++){
        if(vis[i]||x%i!=0)continue;
        mod[size]=1;
        while(x>1&&x%i==0){
            mod[size]*=i;
            x=x/i;
        }
        size++;
    }
    if(x>1)mod[size++]=x;
}

乘法逆元的求法

原理

我们可以用一种神奇的方式来以 O(M) 的复杂度生成一个模数M（为质数）的所有逆元，考虑这样的式子：

ax+b≡0(modM) （注意那个是同余符号）

等式左右同时乘以 x−1b−1 ，则有

a∗b−1+x−1≡0(modM)

即 x−1≡−a∗b−1(modM)

这样我们就成功地求出了 x 的模 M 意义下的逆元

代码如下

代码

void get_all_multiplicative_inverse(LL M){
    inv[1]=1;
    for(LL i=2;i<M;i++){
        inv[i]=(M+(-(M/i)*inv[M%i])%M)%M;
    }
}

原理

但是如果我们只想要一个逆元怎么办？

我们可以考虑如下同余式:

aa−1≡1(modM)

即有 a∗a−1+b∗M=1 （注意这个时候是等于号）

这样，我们便可以使用扩展GCD啦

代码

LL get_single_multiplicative_inverse(LL a,LL M){
    LL d,x,y;
    patulous_gcd(a,M,d,x,y);
    return (x%M+M)%M;
}

组合数计算方法

原理

大家应该都知道组合数是怎么算的，然而那个除来除去的部分我们都很讨厌，所以我们可以使用逆元来搞定它，即乘上这个数的逆元模 M 等于除以这个数模 M

代码

LL calculate_combination_number(LL m,LL n,LL k){
    if(m<n)return 0;
    LL ans=1;
    //get_all_multiplicative_inverse(k);
    for(LL i=1;i<=n;i++){
        ans=(ans*(inv[i]*(i+m-n))%k)%k;
    }
    return ans;
}

Lucas 定理

原理

就是这样的一个小式子：

（百度百科直下）

直接贴代码

代码

LL Lucas(LL m,LL n,LL k){
    if(m<k&&n<k){
        return calculate_combination_number(m,n,k);
    }
    return (Lucas(m/k,n/k,k)*Lucas(m%k,n%k,k))%k;
}

线性同余式解法

原理

就是考虑如下的一个式子：

ax≡b(modM)

我们只要等式两端同乘 a−1 即可

即 x≡a−1b(modM)

下面贴代码

代码

LL solve_congruence(LL a,LL b,LL m){
    LL _a=get_single_multiplicative_inverse(a,m);
    return (b*_a)%m;
}

中国剩余定理

原理

额。。。写这文章简直是要累死啦。。。
就是说现在我们手头有一组线性同余式，它们的模数都是互质的，我们要求这个方程组的解，那么我们可以使用中国剩余定理，它常常被用于模数不是质数的情况，这个时候我们就需要用中国剩余定理来求出答案

大致是这样的：

真是服了这个markdown里似是非是的Latex了，根本打不出来上面的好吗

然后，我们可以很轻松的发现：

是唯一解，这个只要有点数学基础的应该都会证（但是我不会）

这样就搞定啦O(∩_∩)O

下面是代码

代码

LL chinese_remainder_theorem(LL x){
    LL ans=0;
    prime_factorization(M);
    calculate_array_a();//计算a数组
    ans=(((M/mod[i]*a[i]*get_single_multiplicative_inverse(M/mod[i],mod[i]))%M+ans)%M+M)%M;
    }
    return ans;
}

等比数列求和

原理

应该都会吧，是吧= =

代码

LL calculate_geometric_progression(LL first,LL ratio,LL num){
    return (((get_power(ratio,num+1)-1)*inv[ratio-1])%M*first)%M;
}

其中 get _ power() 用于求幂

总结

我的天终于写完了。。。总之每个部分都是看起来简单用起来难，因为常常要做一些改动，同时要把许多部分组合在一起，这样就非常的麻烦了，还有一些比如什么MR判素啊，高级的质因数分解啊以后再说吧，放在高级数论里搞