1.1 数据结构的概念

1.1.1 基本概念和术语

  1. 数据
    数据是信息的载体，是描述客观事物属性的数字、字符以及所有能输入到计算机中被程序识别和处理的符号的集合

  2. 数据元素
    数据元素是数据的基本单位，一个数据元素由若干个 数据项 组成，数据项是数据元素中不可分割的最小单位。

  3. 数据对象
    数据对象是具有相同性质的数据元素的集合，是数据的一个子集。

  4. 数据类型
    数据类型是一个值的集合和定义在此集合上的一组操作的统称

    • 原子类型：值不可再分的数据类型
    • 结构类型：值可以再分解为若干分量的数据类型
    • 抽象数据类型(ADT) ：抽象数据组织以及相关操作，可以用抽象数据类型定义一个完整的数据结构

  5. 数据结构
    数据结构是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。数据元素之间的关系被称为结构。数据结构包括：逻辑结构、存储结构、数据运算。
    数据的逻辑结构和存储结构是密不可分的两个方面，一个算法的设计取决于所选定的逻辑结构，而算法的实现依赖于所采用的存储结构。

1.1.2 数据结构的三要素

  1. 数据的逻辑结构
    逻辑结构是指数据元素之间的逻辑关系，即从逻辑关系上描述数据。它与数据的存储无关，是独立于计算机的。数据的逻辑结构分为线性结构和非线性结构，线性表就是典型的线性结构；集合、树、图就是典型的非线性结构。

    • 集合：结构中的数据之间除了“同属于一个集合”之外，没有别的关系
    • 线性结构：结构中的数据元素之间只存在一对一的关系
    • 树形结构：结构中的数据元素之间存在一对多的关系
    • 图或网状结构：结构中的数据元素之间存在多对多的关系

  2. 数据的存储结构
    存储结构是指数据结构再计算机中的表示，也称物理结构。它包括数据元素的表示和关系的表示。数据的存储结构是用计算机语言实现的逻辑结构，它依赖于计算机语言。数据的存储结构主要有顺寻存储、链式存储、索引存储和散列存储

    • 顺序存储：把逻辑上相邻的元素存储在物理位置上也相邻的存储单元中，元素之间的关系由存储单元的邻接关系来体现。其优点是可以实现随机存取，每个元素占用最小的存储空间，缺点是只能使用相邻的一整块存储单元，因此可能产生较多外部碎片
    • 链式存储：不要求逻辑上相邻的元素在物理位置上也相邻，借助指示元素存储地址的指针来表示元素之间的逻辑关系。其优点是不会出现碎片现象，能充分利用所有存储单元；缺点是每个元素因存储指针而占用额外的存储空间，且只能实现顺序存取。
    • 索引存储：在存储元素信息的同时还建立附加的索引表。索引表中的每项称为索引项，索引项的一般形式是(关键字：地址)。其优点是检索速度快，缺点是附加的索引表额外占用存储空间。另外，增加和删除数据时也要修改索引表，因此比较耗时。
    • 散列存储(哈希存储)：根据元素的关键字直接计算出该元素的存储地址。其优点是减速、增加和删除节点的操作都很快；缺点是如果散列函数不好，则可能出现元素存储单元冲突，解决冲突则需要许多额外的时间和空间开销。

  3. 数据的运算
    施加在数据上的运算包括运算的定义和实现。运算的定义是针对逻辑机构，支出运算的功能；运算的实现是针对存储结构的，指出运算的具体操作步骤。

1.2 算法和算法评价

1.2.1 算法的基本概念

算法是对特定问题求解的一种描述，它是指令的有限序列，其中的每条指令代表一个或多个操作。此外，一个算法还具有下列五个重要特性：

  1. 有穷性：一个算法必须总在执行完有穷步之后结束，且每一步都可再有穷时间内完成。
  2. 确定性：算法中的每条指令必须有确切的含义，对于相同的输入只能得到相同的输出
  3. 可行性：算法中描述的操作的可以通过已有实现的基本运算执行有限次来实现
  4. 输入：输入取自某个特定的对象的集合
  5. 输出：一个算法有一个或多个输出，这些输出是与输入有着某种特定关系的量
    通常一个好的算法应该达到：
  6. 正确性：答案得是对的
  7. 可读性：助于人们理解
  8. 健壮性： 输入非法数据时能作出恰当的反应，没啥bug
  9. 效率与低存储量需求：又快又好地执行

1.2.2 算法效率的度量

算法效率的度量是通过时间复杂度和空间复杂度来描述的

  1. 时间复杂度

    一个语句的频度是指该语句在算法中被重复执行的次数，算法中所有语句频度之和记为，它是该算法问题规模的函数，时间复杂度主要分析的数量级。算法中基本运算(最深层循环内的语句)的频度与同数量级，因此通常采用算法中基本运算的频度(取中增长最快的项，比如,则取)来分析算法的时间复杂度。故算法的时间复杂度记为：$$。

    算法的时间复杂度不仅取决于问题规模，也取决于待输入数据的性质。

    分析程序的时间复杂性的两条规则：

    1. 加法规则 :
    2. 乘法规则 :
      常见的渐进时间复杂度有

  2. 空间复杂度

    算法的空间复杂度定义为该算法所耗费的存储空间，它是问题规模的函数。记为 。

    一个程序在执行时除了需要存储空间来存放本身所用的指令、常数、变量和输入数据之外，还需要一些对数据进行操作的工作单元和存储一些为实现计算所需信息的辅助空间。若输入数据所占空间只取决于问题本身，和算法无关，则只需分析除输入和程序之外的额外空间。

    算法原地工作指算法所需的辅助空间为常量，即