E - Sum of gcd of Tuples (Hard)

莫比乌斯反演过程：
最后就是
$图片说明$

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std ;
const int mod = 1e9 + 7 ;
const int N = 1e5 + 5 ;
int phi[N] , tot , prime[N] , vis[N] ;
typedef long long ll ;
ll qmi(ll a ,ll b)
{
  ll res = 1;
  while(b)
   {
      if(b & 1) res = res * a % mod ;
      a = a * a % mod ;
      b >>= 1 ;
   }
   return res;
}
void init()
{
  phi[1] = 1 ;
  for(int i = 2; i < N ;i ++)
   {
     if(!vis[i]) prime[++ tot] = i , phi[i] = i - 1;
     for(int j = 1 ; j <= tot && i * prime[j] < N ;j ++)
      {
        vis[i * prime[j]] = 1;
        if(i % prime[j] == 0)
         {
           phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j] ;
           break ;
         }
        phi[i * prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]] ;
      }
   }
}
int main()
{
  init() ;
  int n , k ;
  cin >> n >> k ;
  long long ans = 0 ;
  for(int i = 1 ; i <= k ;i ++)
   ans += qmi(k / i , n) * phi[i] % mod , ans %= mod ;
  cout << ans << endl ;
  return 0 ;
}

官方做法，看着像dp ，也是容斥，最小gcd为i ，那么所有i的组合成答案多了很多i的倍数为gcd的，所以后面就剪掉
$图片说明$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std ;
const int mod = 1e9 +7 , N = 1e5 + 5 ;
typedef long long ll ;
ll dp[N] ;
ll qmi(ll a, ll b)
{
  ll res =1 ;
  while(b)
   {
     if(b & 1) res = res * a % mod ;
     a = a * a % mod ;
     b >>= 1;
   }
   return res ;
}
int main()
{
  ll ans = 0 ;
  int n , k ;
  cin >> n >> k ;
  for(int i = k ;i >= 1;i --)
   {
     dp[i] = qmi(k / i , n) % mod ;
     for(int j = 2 * i ;j <= k ;j += i)
      dp[i] -= dp[j] , dp[i] = (dp[i] % mod + mod) % mod ;
     ans += i * dp[i] % mod , ans %= mod ;
   }
  cout << ans << endl ;
  return 0 ;
}