2020ICPC·小米 K-Sqrt Approaching

K-Sqrt Approaching

思路：
将题目进行简单的转化，就变成要找C,D满足 $\frac{C}{D}$ 在 $\sqrt{n}$ 与 $\frac{A}{B}$ 之间，而题目又是只需要输出一组解，所以尝试构造解。
由于我的解法和官方解法不同，所以其实样例的输出也和我的输出不同。官方题解直接给出构造，未免有点无中生有的感觉，因此我尝试给出得到构造的思路。
首先观察一下A,B,C,D,n的数据范围，不难猜想构造出的C,D应该可能含有nA,nB,A,B,n和常数项。而 $\frac{A}{B}$ 是有理数， $\sqrt{n}$ 是无理数，如果构造的 $\frac{C}{D}$ 在他们之间，那么一直重复这个构造方法，就会越来越逼近 $\sqrt{n}$ ，即找到一种迭代方法，不断逼近它。
其实这里我考虑过牛顿迭代法，但是构造出的A有二次项，于是换一种思路。
令 $t=\frac{A}{B}$ ，那么要做的其实是找到一个递推式形如 $x_{n+1}=\frac{(p_{1}n+p_{2})x_{n}+p_{3}n+p_{4}}{(q_{1}n+q_{2})x_{n}+q_{3}n+q_{4}}$ 的数列，其极限是 $\sqrt{n}$ ，其中p,q都是整数，这时候分子分母就是C,D了。
那么这时我们对两边取极限（不考虑严谨性，就先假设存在了），即 $\sqrt{n}=\frac{(p_{1}n+p_{2})\sqrt{n}+p_{3}n+p_{4}}{(q_{1}n+q_{2})\sqrt{n}+q_{3}n+q_{4}}$ ，整理一下可以得到 $q_{1}n^2+(q_{3}-p_{1})n\sqrt{n}+(q_{2}-p_{3})n+(q_{4}-p_{2})\sqrt{n}-p_{4}=0$
若该式子恒成立，那么必有 $q_{1}=p_{4}=0,q_{3}=p_{1},q_{2}=p_{3},q_{4}=p_{2}$
而 $q_{2},p_{3}$ 首先保证不为0，否则式子将与t无关，那么为了简化式子，不妨考虑下 $q_{4}=p_{2}=0$ ,代回原式得到 $x_{n+1}=\frac{p_{1}nx_{n}+p_{3}n}{p_{3}x_{n}+p_{1}n}$
那么就初步构造出 $\frac{C}{D}=\frac{p_{1}nt+p_{3}n}{p_{3}t+p_{1}n}$ ，不妨设 $t=\frac{A}{B}>\sqrt{n}$ ,那么就有 $t=\frac{A}{B}>\frac{C}{D}>\sqrt{n}$ ，先考虑 $\frac{C}{D}>\sqrt{n}$ ，可以得到 $p_{1}n-(p_{1}t+p_{3})\sqrt{n}+p_{3}t<0$ ,即 $t(p_{1}\sqrt{n}-p_{3})>\sqrt{n}(p_{1}\sqrt{n}-p_{3})$ ，那么只需要 $p_{1}\sqrt{n}-p_{3}>0$ 恒成立即 $\sqrt{n}>\frac{p_{1}}{p_{3}}$ 。
这时候考虑最简单的形式即 $p_{1}=p_{3}=1$ ，带入发现满足题意，所以就可以得到了构造C=n(A+B),D=A+nB，然后就是一些高精度计算了。
我还考虑过 $q_{3}=p_{1}=0$ ，但是并不可行。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
#define rep(i,s,t) for(int i=s;i<=t;i++)
#define per(i,s,t) for(int i=s;i>=t;i--)
const int L=1e5+20;
ll a[L],b[L],na[L],nb[L],c[L],d[L],n;
void read(ll p[],string q){
    p[0]=q.size();
    per(i,(p[0]-1),0)
        p[p[0]-i]=q[i]-'0';
}
void muln(ll p[],ll q[]){
    rep(i,1,p[0])
        q[i]=n*p[i];
    int temp,k;
    rep(i,1,p[0]){
        temp=q[i]/10,k=1,q[i]%=10;
        while(temp)
            q[i+k]+=temp%10,temp/=10,k++;
    }
    q[0]=p[0]+k-1;
}
void add(ll p[],ll q[],ll r[]){
    r[0]=max(p[0],q[0]);
    rep(i,1,r[0])
        r[i]+=p[i]+q[i],r[i+1]+=r[i]/10,r[i]%=10;
    if(r[r[0]+1]) r[0]++;
}
int main(){
    string A,B;
    cin>>A>>B>>n;
    read(a,A),read(b,B);
    muln(a,na),muln(b,nb);
    add(na,nb,c);
    add(a,nb,d);
    per(i,c[0],1) cout<<c[i];
    cout<<endl;
    per(i,d[0],1) cout<<d[i];
    return 0;
}