第九章多元函数微分法及其应用

第一节多元函数的基本概念

一、平面点集 $n$ 维空间

任意一点 $P \in R^2$ 与任意一个点集 $E \subset R^2$ 之间必定存在以下三张关系中的一种：

内点：如果存在点 $P$ 的某个邻域 $U(P)$ ，使得 $U(P) \subset E$ ，那么称点 $P$ 为 $E$ 的内点。
外点：如果存在点 $P$ 的某个邻域 $U(P)$ ，使得 $U(P) \cap E = \varnothing$ ，那么称点 $P$ 为 $E$ 的内点。
边界点：如果点 $P$ 的任一邻域内既含有属于 $E$ 的点，又含有不属于 $E$ 的点，那么称 $P$ 为 $E$ 的内点。 $E$ 边界点的全体，称为 $E$ 的边界，记作 $\partial{E}$ 。

任意一点 $P$ 与集合 $E$ 除了上述三种关系外，还存在一种关系——聚点。

聚点：如果对任意给定的 $\delta > 0$ ，点 $P$ 的去心领域 $\mathring{U}(P,\delta)$ 内总有 $E$ 中的点，那么称点 $P$ 是 $E$ 的聚点。点集 $E$ 和它的边界点集 $\partial{E}$ 都是 $E$ 的聚点。

其他概念：开集、闭集、连通集、区域、闭区域、有解集、无界集。

二、多元函数的概念

设 $D$ 是 $R^2$ 的一个非空子集，称映射 $f: D \to R$ 为定义在 $D$ 上的二元函数，通常记为 $z=f(x,y), (x,y) \in D$ 或 $z=f(P), P \in D$ 。其中，点集 $D$ 称为该函数的定义域， $x$ 和 $y$ 称为自变量， $z$ 称为因变量。

二元以上函数同理。

三、多元函数的极限

设二元函数 $f(P)=f(x,y)$ 的定义域为 $D$ ， $P_0(x_0,y_0)$ 是 $D$ 的聚点。如果存在常熟 $A$ ，对任意给定的正数 $\epsilon$ ，总存在正数 $\delta$ ，使得当点 $P(x,y) \in D \cap \mathring{U}(P_0, \delta_0)$ 时，都有 $|f(P) - A| = |f(x,y) - A| < \epsilon$ 成立，那么就称常数 $A$ 为函数 $f(x,y)$ 当 $(x,y) \to (x_0,y_0)$ 时的极限。也叫做二重极限。

四、多元函数的连续性

某点处的极限等于该点的函数值
一切多元初等函数在其定义域内是连续的
有界性与最大值最小值定理、介值定理、一致连续性定理

第二节、偏导数

一、偏导数的定义及其计算法

二、高阶偏导数

如果函数 $z=f(x,y)$ 的两个二阶混合导数 $\frac{\partial{z}}{\partial{x}\partial{y}}$ 和 $\frac{\partial{z}}{\partial{y}\partial{x}}$ 在区域 $D$ 内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等

三、全微分

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 的某邻域内有定义，如果函数 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 的全增量 $\Delta{z}=f(x+\Delta{x}, y+\Delta{y}) - f(x,y)$ 可表示为 $\Delta{z}=A\Delta{x}+B\Delta{y}+o(\rho)$ 。其中 $A$ 和 $B$ 为不依赖于 $\Delta{x}$ 和 $\Delta{y}$ 而仅与 $x$ 和 $y$ 有关， $\rho=\sqrt{(\Delta{x})^2+(\Delta{y})^2}$ ，那么称函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 可微分，而 $A\Delta{x} + B\Delta{y}$ 称为函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处的全微分，记作 $d{z}$ 。

必要条件：如果函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处可微分，那么该函数在点 $(x,y)$ 的偏导数 $\frac{\partial{z}}{\partial{x}}$ 与 $\frac{\partial{z}}{\partial{y}}$ 必定存在且函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 的全微分为 $dz=\frac{\partial{z}}{\partial{x}}\Delta{x} + \frac{\partial{z}}{\partial{y}}\Delta{y}$ 。
充分条件：如果函数 $z=f(x,y)$ 的偏导数 $\frac{\partial{z}}{\partial{x}}$ 与 $\frac{\partial{z}}{\partial{y}}$ 在点 $(x,y)$ 连续，那么函数在该点可微分。
注意全微分在近似计算中的运用

第四节多元复合函数的求导法则

1. 一元函数与多元函数复合的情形

2. 多元函数与多元函数复合的情形

3. 其他情形

第五节隐函数的求导公式

一、一个方程的情形

隐函数存在定理1：设函数 $F(x,y)$ 在点 $P(x_0,y_0)$ 的某一邻域内具有连续偏导数，且 $F(x_0,y_0)=0$ ， $F_y(x_0,y_0) \neq 0$ ，则方程 $F(x,y)=0$ 在点 $P$ 的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 $f(x)$ ，它满足条件 $y_0=f(x_0)$ ，并有 $\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$
隐函数存在定理2：

二、方程组的情形

隐函数存在定理3：（雅可比式）

第六节多元函数微分学的几何应用

第七节方向导数与梯度

一、方向导数

如果函数 $f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 可微分，那么函数在该点沿任一方向的 $l$ 的方向导数存在，且有 $\frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_0)} = f_x(x_0,y_0)\cos{\alpha}+f_y(x_0,y_0)\cos{\beta}$ 。其中， $\cos{\alpha}$ 和 $\cos{\beta}$ 是 $l$ 的方向余弦

二、梯度

向量微分算子 $\nabla$ （Nabla）

第八节多元函数的极值及其求法

一、多元函数的极值及最大值与最小值

必要条件：设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 具有偏导数，且在点 $(x_o,y_0)$ 处有极值，则有： $f_x(x_0,y_0) = f_y(x_0,y_0) = 0$
充分条件：设函数在点的某邻域内连续且具有一阶及二阶连续偏导数，又，令，则是否能在处是否取得极值的条件如下：
- $AC-B^2>0$ 时具有极值，且当 $A<0$ 时有极大值，当 $A>0$ 时有极小值
- $AC-B^2<0$ 时没有极值
- $AC-B^2=0$ 时可能有极值，也可能没有极值。

第九章多元函数微分法及其应用

第九章多元函数微分法及其应用

第一节多元函数的基本概念

一、平面点集 $n$ 维空间

二、多元函数的概念

三、多元函数的极限

四、多元函数的连续性

第二节、偏导数

一、偏导数的定义及其计算法

二、高阶偏导数

三、全微分

第四节多元复合函数的求导法则

1. 一元函数与多元函数复合的情形

2. 多元函数与多元函数复合的情形

3. 其他情形

第五节隐函数的求导公式

一、一个方程的情形

二、方程组的情形

第六节多元函数微分学的几何应用

第七节方向导数与梯度

一、方向导数

二、梯度

第八节多元函数的极值及其求法

一、多元函数的极值及最大值与最小值

二、条件极值拉格朗日乘数法

第九节二元函数的泰勒公式

一、二元函数的泰勒公式

二、极值充分条件的证明

第十节最小二乘法

第九章 多元函数微分法及其应用

第九章 多元函数微分法及其应用

第一节 多元函数的基本概念

一、平面点集 维空间

二、多元函数的概念

三、多元函数的极限

四、多元函数的连续性

第二节、偏导数

一、偏导数的定义及其计算法

二、高阶偏导数

三、全微分

第四节 多元复合函数的求导法则

1. 一元函数与多元函数复合的情形

2. 多元函数与多元函数复合的情形

3. 其他情形

第五节 隐函数的求导公式

一、一个方程的情形

二、方程组的情形

第六节 多元函数微分学的几何应用

第七节 方向导数与梯度

一、方向导数

二、梯度

第八节 多元函数的极值及其求法

一、多元函数的极值及最大值与最小值

二、条件极值 拉格朗日乘数法

第九节 二元函数的泰勒公式

一、二元函数的泰勒公式

二、极值充分条件的证明

第十节 最小二乘法

第九章多元函数微分法及其应用

第九章多元函数微分法及其应用

第一节多元函数的基本概念

一、平面点集 $n$ 维空间

第四节多元复合函数的求导法则

第五节隐函数的求导公式

第六节多元函数微分学的几何应用

第七节方向导数与梯度

第八节多元函数的极值及其求法

二、条件极值拉格朗日乘数法

第九节二元函数的泰勒公式

第十节最小二乘法