极限

等价无穷小

（1）指数函数： $a^x-1\sim$ax−1                      ∼ $xlna$xlna
（2）幂函数： $(1+Bx{)}^a-1\sim$(1+Bx)a−1            ∼ $aBx$aBx
（3）对数函数： $lo{g}_a(1+x)\sim$loga​(1+x)              ∼ $\frac{x}{lna}$lnax​
（4）其他：
$\frac{ax-(1+ax)ln(1+ax)}{\left(ax{)}^2\right(1+ax)}\sim -\frac{1}{2}$(ax)2(1+ax)ax−(1+ax)ln(1+ax)​∼−21​
$1-\frac{sinx}{x}\sim \frac{1}{6}{x}^2$1−xsinx​∼61​x2

等价无穷大

（1） x→∞lim​(1+x1​)x2=x→∞lim​e−21​ex
这里一开始推出矛盾
x→∞lim​(1+x1​)x2=x→∞lim​ex2ln(1+x1​)=ex2⋅x1​=ex
这个的原因应该是展开精度不够，上面的 $ln(1+\frac{1}{x})\sim \frac{1}{x}$ln(1+x1​)∼x1​相当于展开到第一项，精度不够，如果多写几项就能发现
x→∞lim​ex2ln(1+x1​)=ex2(x1​−2x21​+O(x21​))=ex⋅e−21​⋅eO(x21​))=ex⋅e−21​⋅1
这样就对了
（2）斯特林近似
n→∞lim​n!=n→∞lim​2πn ​(en​)n
一般看到阶乘的求极限贼好用
顺便记一下阶乘的积分公式
$n!={\int }_0^{+\infty }{x}^n{e}^{-x}dx$n!=∫0+∞​xne−xdx

常用泰勒展开

①： $tanx$tanx

$tanx=x+\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{15}{x}^5+\frac{17}{315}{x}^7+...$tanx=x+31​x3+152​x5+31517​x7+...

②： $arctanx$arctanx

$arctanx=x-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{5}{x}^5-....$arctanx=x−31​x3+51​x5−....

③： $arcsinx$arcsinx

$arcsinx=x+\frac{1}{6}{x}^3+\frac{3}{40}{x}^5+...$arcsinx=x+61​x3+403​x5+...

④： $(1+x{)}^a$(1+x)a

$(1+x{)}^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}{x}^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}{x}^3+...$(1+x)a=1+ax+2!a(a−1)​x2+3!a(a−1)(a−2)​x3+...

⑤： $(1+x{)}^{\frac{1}{x}}$(1+x)x1​

$(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e(1-\frac{1}{2}x+\frac{11}{24}{x}^2-\frac{7}{16}{x}^3+...)$(1+x)x1​=e(1−21​x+2411​x2−167​x3+...)

斯托克斯公式

$\oint F\cdot dr=\iint ▽\times FdS$∮F⋅dr=∬▽×FdS

∮(Fx​dx+Fy​dy+Fz​dz)=∬∣∣∣∣∣∣​dydz∂x∂​Fx​​dxdz∂y∂​Fy​​dxdy∂z∂​Fz​​∣∣∣∣∣∣​dS

$\oint (F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz)=\iint (\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z})dydz-(\frac{\partial F_z}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial z})dxdz+(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y})dxdy$∮(Fx​dx+Fy​dy+Fz​dz)=∬(∂y∂Fz​​−∂z∂Fy​​)dydz−(∂x∂Fz​​−∂z∂Fx​​)dxdz+(∂x∂Fy​​−∂y∂Fx​​)dxdy

曲率

$k=\frac{d\theta }{ds}$k=dsdθ​
$而k=y^{\prime }=tan\theta \Rightarrow \theta =arctan{y}^{\prime }\Rightarrow d\theta =\frac{d{y}^{\prime }}{1+y^{\prime 2}}=\frac{y^{\prime \prime }dx}{1+y^{\prime 2}}=\frac{y^{\prime \prime }}{1+y^{\prime 2}}dx$而k=y′=tanθ⇒θ=arctany′⇒dθ=1+y′2dy′​=1+y′2y′′dx​=1+y′2y′′​dx
$而ds=\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$而ds=1+y′2 ​dx
$\therefore k=\frac{y^{\prime \prime }}{(1+y^{\prime 2}{)}^{\frac{3}{2}}}$∴k=(1+y′2)23​y′′​

曲率中心

$\{\begin{array}{c}{x}_o=x-\frac{y^{\prime }(1+y^{\prime 2})}{y^{\prime \prime }}\\ \\ y_o=y+\frac{1+y^{\prime 2}}{y^{\prime \prime }}\end{array}$⎩⎪⎨⎪⎧​xo​=x−y′′y′(1+y′2)​yo​=y+y′′1+y′2​​

经典积分背下来

常用不常规积分
$\int \frac{1}{sinx}dx=ln\left(tan\frac{x}{2}\right)+C这个用万能公式比较好计算$∫sinx1​dx=ln(tan2x​)+C这个用万能公式比较好计算
$\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx=ln(x+\sqrt{1+x^2})+C$∫1+x2 ​1​dx=ln(x+1+x2 ​)+C

需要背的

$tan\left(\frac{\pi }{8}\right)=\sqrt{2}-1$tan(8π​)=2 ​−1
$tan\left(\frac{3\pi }{8}\right)=\sqrt{2}+1$tan(83π​)=2 ​+1

不等式总结

均值不等式

$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$a1​+b1​2​≤ab ​≤2a+b​
以前就只知道右边这个 $\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$ab ​≤2a+b​,那左边这个 $\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le \sqrt{ab}$a1​+b1​2​≤ab ​是怎么来的喃？
把 $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$2a+b​≥ab ​取倒数
$\frac{1}{\frac{a+b}{2}}\le \frac{1}{\sqrt{ab}}$2a+b​1​≤ab ​1​
$\frac{2}{a+b}\le \sqrt{\frac{1}{a}\frac{1}{b}}$a+b2​≤a1​b1​ ​
因为 $a,b$a,b都是正数，所以把 $\frac{1}{a}$a1​看成新的 $a$a，把 $\frac{1}{b}$b1​看成新的 $b$b，于是就得到了 $\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le \sqrt{ab}$a1​+b1​2​≤ab ​

Young不等式

$xy\le \frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q},其中\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,x,y,p,q>0$xy≤pxp​+qyq​,其中p1​+q1​=1,x,y,p,q>0
这是看张宇18讲看到的，以前见都没见过T_T

需要用到凹凸不等式来弄：

凹凸不等式

$f(\lambda x_1+(1-\lambda \left)y_1\right)\ge \lambda f\left(x_1\right)+(1-\lambda )f\left(y_1\right),凸函数情况$f(λx1​+(1−λ)y1​)≥λf(x1​)+(1−λ)f(y1​),凸函数情况
然后 $ln\left(x\right)$ln(x)是凸函数
所以有 $ln(\lambda x_1+(1-\lambda \left)y_1\right)\ge \lambda ln\left(x_1\right)+(1-\lambda )ln\left(y_1\right)$ln(λx1​+(1−λ)y1​)≥λln(x1​)+(1−λ)ln(y1​)
然后再把 $x_1换成x^p,y_1换成y^q,\lambda 换成\frac{1}{p},1-\lambda 换成1-\frac{1}{q}$x1​换成xp,y1​换成yq,λ换成p1​,1−λ换成1−q1​
$ln(\frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q})\ge \frac{1}{p}ln\left(x^p\right)+\frac{1}{q}ln\left(y^q\right)=ln\left(xy\right)$ln(pxp​+qyq​)≥p1​ln(xp)+q1​ln(yq)=ln(xy)得证

向量不等式（离散柯西不等式）

连续情况就是柯西施瓦茨不等式
$(a_1{a}_2+b_1{b}_2{)}^2\le (a_1^2+a_2^2\left)\right(b_1^2+b_2^2)$(a1​a2​+b1​b2​)2≤(a12​+a22​)(b12​+b22​)
$(a_1{a}_2+b_1{b}_2+a_3{b}_3{)}^2\le (a_1^2+a_2^2+a_3^2\left)\right(b_1^2+b_2^2+b_3^2)$(a1​a2​+b1​b2​+a3​b3​)2≤(a12​+a22​+a32​)(b12​+b22​+b32​)

哇~这个不等式原来是由向量推过来的啊T_T
在二维平面中，设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$A(x1​,y1​),B(x2​,y2​)

$cos\theta =\frac{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}}{\mid \overrightarrow{OA}\mid \cdot \overrightarrow{OB}}\le 1$cosθ=∣OA ∣⋅OB OA ⋅OB ​≤1

$\frac{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}}{\mid \overrightarrow{OA}\mid \cdot \overrightarrow{OB}}=\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}\le 1$∣OA ∣⋅OB OA ⋅OB ​=x12​+y12​ ​x22​+y22​ ​x1​x2​+y1​y2​​≤1