动态规划

①分析题目：能够译码的数字不会大于26，即有效的译码范围为 [1,26]。

②确定状态：以数组 "12345" 为例，首先要明确两点：

• 依题意可知，数组中所有的数字都必须参与译码，比如数组 "1234" 的某一种译码方式为 “1,2,3,4"，那么当数组尾再添加一个元素 "5" 时，刚才的译码方式就会变为 "1,2,3,4,5"，即 "1,2,3,4" 和 "1,2,3,4,5" 是同一种译码方式。

  由于所有数字都要参与译码，所以只要译码方式中存在个位数 "0"，那么就都是无效的。

• 当新加入一个数字"5" 时，其除了可以单独作为一个数字参与译码外，也可以与其左边的数字组成数字组合后再参与译码，即 "45" ，然后此时有多少种译码方式就取决于剩余的数字 即 "123" 了，这和前面所说的是同一个道理，只是此时把 "4"和"5" 看作是一个整体，可以理解为：原本数组 "123" 存在某种译码方式为 "1,2,3"，现在加入 "45"，译码方式就变成了 "1,2,3,45"。

  由于有效的译码范围为 [1,26]，所以新加入的数字 "5" 只需要考虑与其左边的数字组成两位数组合，无需再考虑组成更大的组合了，比如三位数 "345" 等等。

  数字组合必须是十位数，比如 "0"和"2" 组成的 "02" 也是不符合译码要求的。

理解了上面两点后，现在我们从数组 "12345" 的子串"1"开始分析，然后逐步往后添加元素，设数组 x 有 f(x) 种有效的译码方式：

• 当数组为 "1" 时，有以下译码方式：

  ①1

  f("1")=1

• 接着加入数字"2"，数组为 "12" 时，有以下译码方式：

  ①1，2

  ②12

  f("12")=2

  其中第①种是从 数组 "1" 的译码方式 演变过来的，就是在其基础上再加上单个数字 "2"。

• 接着加入数字"3"，数组为 "123" 时，有以下译码方式：

  ①1，2，3

  ②12，3

  ③1，23

  f("123")=3

  其中第①、②种是从 数组 "12" 的译码方式 演变过来的，就是在其基础上再加上单个数字 "3"；

  而第③种是从 数组 "1" 的译码方式 演变过来的，就是在其基础上再加上数字组合 "23"。

• 接着加入数字"4"，数组为 "1234" 时，有以下译码方式：

  ①1，2，3，4

  ②12，3，4

  ③1，23，4

  ④1，2，34

  ⑤12，34

  其中第①、②、③种是从 数组 "123" 的译码方式 演变过来的，就是在其基础上再加上单个数字 "4"；

  而第④、⑤种是从 数组 "12" 的译码方式 演变过来的，就是在其基础上再加上数字组合 "34"；

  由于 "45" 不在有效译码的范围内，所以这两种译码方式会被抛弃掉。

  f("1234")=3

  可见，数组 "1234" 的译码方式 是由 数组 "123"的译码方式 和 数组 "12"的译码方式 组成的。

• 根据上面的分析，当数组继续扩张到 "12345" 时，那么其译码方式就为：

  当新加入的数字 "5" 单独作为个位数参与译码时，此时的译码方式 就等同于 数组 "1234" 的译码方式，这组译码方式是有效的，因为个位数 "5" 在有效的译码范围内；

  而 "5" 与其前一位数字组成十位数 "45" 时，此时的译码方式 就等同于 数组 "123" 的译码方式，而这组译码是否有效则取决于 "45" 是否在有效的译码范围内。

  即 f("12345") = f("12345" - "5") + f("12345" - "45") = f("1234") + f("123") = 3+3 = 6，但是由于 "45" 不在有效的译码范围内，所以 f("123") 的结果不能算在内，所以最终结果应该为3。

• 可见，枚举到某位数字时，此时有多少种译码方式，可以由之前的译码方式相加得出，即当前的状态可以利用之前的状态，这是典型的动态规划。

③状态转移方程：f(x)=f(x-1)+f(x-2)（其中 x 表示数组长度，f(x) 表示有多少种有效的译码方式；是否加上 f(x-1) 取决于 nums[x] 是否在 [1,9] 内，即 nums[x] 需要满足不为0；是否加上 f(x-2) 则取决于 nums[i-1] 与 nums[i] 的数字组合是否在 [10,26] 内）

时间复杂度：O(N) ，需要遍历一次数组

空间复杂度：O(N) ，需要声明一个状态数组记录f(x)

class Solution {
    public int solve (string nums) {
        int[] codesNum=new int[nums.Length]; //状态数组，记录f(x)
        //初始条件：
        if(nums[0].ToString() != "0"){
            codesNum[0]=1;
        }
        //从数组第2位枚举到最后一位：
        for(int i=1;i<nums.Length;++i){
            //判断nums[i]是否不为0
            if(nums[i].ToString() != "0"){
                codesNum[i]+=codesNum[i-1];
            }
            //判断nums[i-1]与nums[i]的数字组合是否在[10,26]内
            int temp=int.Parse(nums[i-1].ToString() + nums[i].ToString());
            if(temp >= 10 && temp <= 26){
                if(i==1){ //即f(2)，因为不存在f(0)，所以需要特殊处理：
                    codesNum[i]+=1;
                }else{
                    codesNum[i]+=codesNum[i-2];
                }
            }
        }
       return codesNum[nums.Length-1];
    }
}