Floyd再思考

——by ThinkofBlank

一.序言

Floyd,是一个十分常用的图论算法，其作用是在O(n^3)的时间内计算出全源最短路。其实现原理是利用的dp,然而，刚开始接触Floyd的时候，并没有去尝试理解，思路此算法，仅仅记了下打法就跑了，最近无聊时思考了下，得出了些有用的东西，特此来分享

注意:以下说的图都是无负环的，不然，求甚么最短路。。。

当然，给出的图是联通且点的个数至少为3

二.引入

1、路径合成可行性

给定一个图,假设我们已知i->j的最短路径为a1,i->k的最短路径为a2,(a1<a2)，那么j->k的最短路径是多少？

答案是a2-a1?不！并不是，比如下图：

很明显的，j->k的最短路径应该是a1+a2才对,当然，也有满足最短路径为a1-a2的情况，如下图:

所以，如果我们单纯地知道i->j和i->k的最短路径，我们是无法求出正确的j->k的最短路径的

那么，我们来换一换,假设我们已知i->k的最短路径为a1,k->j的最短路径为a2,那么i->j的最短路径是不是就可求呢？

初步画个图:

由此可以判断出i->j的最短路径是a1+a2,于是就又错啦！

以下给出两个hack的情况:

当然，对于第一个hack的情况，要j和k之间的是双相边

于是，我们真的无法求出来了吗？不！

我们注意到，对于两种hack的情况，其实它都可以看出i->k,k->j的行走方式，只是某些时候，k=i或j罢了！

所以，就有:对于一条路径i->j,它可以由i->k,k->j合成，那么我们只需要合成就好了。这就是路径的合成可行性

感性的理解:由i到j,我们可以先从i到k，再从k到j，如果直接由i到j中途不停留的话，那么相当于此时k=i或者j

那么，这里就有一个方法了！

我们枚举所有的k!这样，我们就可以枚举出所有的路径出来！然后把这些权值取最小,即一定为最小路径！

首先，我们设dis(i,j)表示i->j的最短路径(初始无限大)，那么如果有一条边权为w从i->j的边，我们就令dis(i,j)=min(dis(i,j),w)

这样我们就求出了对于所有i->k,k->j中k=i或j的时候的路径了

那么之后怎么求呢？

简单啊！

枚举k嘛，我就老老实实枚举k和i,j就好了嘛

for:i=1->n

for:j=1->n

for:k=1->n

dis(i,j)=min(dis(i,j),dis(i,k)+dis(k,j))

看，这不就好了嘛！

然而，这是错的。。。

为啥？

因为我们回过去看枚举所有k得到最短路径的条件:dis(i,k)与dis(k,j)一定也是最短路径!

但是，我们目前，我们对于部分dis(i,k)和dis(k,j)并没有枚举，所以，我们的答案不一定正确！

那么该如何改进呢？

传统的Floyd是使用松弛操作进行的:

for:k=1->n

for:i=1->n

for:j=1->n

dis(i,j)=min(dis(i,j),dis(i,k)+dis(k,j))

咋看一下没啥不同，但事实上，它是在进行dp,具体的我就不说多了，现在来讨论下Floyd的Ex算法:

先来引入一个定理:

2、一定存在两个点最短路径为它们两个点的直接连边

先者有言:没有证明的理论，都是猜想，不能直接用

那么，我们就来证明一波

我使用的是反证法:

假设所有点两两之间的最短路都间隔了至少经过了一个点

我们设i->j的最短路为i->k->j

那么，不难发现，如果i->k的最短路不是i,k的直接连边，而是i->t->k的话，那么明显有i->j的最短路中

i->t->k->j更优

那么i->j的最短路不止经过一点呢，我们直接假设为i->t->k->j,我们可以同理去分析i->t

所以，这与假设不相符

所以，命题得证。

而且,同理去分析k->j，还会再多得一对点，所以对于任意一对最短路为直接连边的两点A,B

我们一定可以找到另外的一个点C，使得那个点与两点中的其中一个点(假设为B)的直接连边是最小路径

简单分析下便可发现，这样的点对至少有n-1个

那么，如果我们找到所有这样的点对，我们就可以再推出至少n-2条最短路径,然后再用这n-2条路径继续推...

循环n-1次便可以推完所有的最短路径了！

三、算法

那，我们怎么找到这n-1条边呢？对于一个图，我们可以采用玄学的方法——枚举法！

这样，我们就有了一个算法的雏形:

一开始的赋值就不说了。。。

首先，我们将所有边加入对应的表中(使用数组即可~),比如u->v，我们就令s(u,++siz(u))=v,表示，我们有一条从

u->v的确定了权值的边（不一定最小）

然后，我们进行一下操作:

1.枚举i

2.访问与i相连的边，找到一个k

3.访问与k相连的边，找到一个j

4.如果dis(i,k)+dis(k,j)<dis(i,j)，我们令dis(i,j)=dis(i,k)+dis(k,j)，并把j加入i的表中

5.回到步骤1，重复n-2次即可(第一次是赋值那里)

两个优化:

1.对于每个点来说，我们维护一个bool数组ys(i,j)表示j是否在i的表里面，如果是，我们就无需把j加入表中，否则，我们就将j加入表中，并使ys(i,j)=1

2.对于不在起作用的表，我们将它砍掉，无需再访问(详细见代码的kil数组)

于是我们有了代码:

//#pragma GCC optimize()//手动Ox优化
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int M=1001;
int dis[M][M];
int s[M][M],siz[M];
bool kil[M][M];
bool ys[M][M];
inline void Ex_Floyd(int n){
    int tim=n-2;
    while(tim--){
        bool flag=0;
        for(int i=1;i<=n;++i){
            for(int j=1;j<=siz[i];++j){
                int v=s[i][j];
                if(kil[i][j]){
                    continue;
                }
                kil[i][j]=1;
                for(int k=1;k<=siz[v];++k){
                    int e=s[v][k];
                    if(dis[i][e]>dis[i][v]+dis[v][e]){
                        dis[i][e]=dis[i][v]+dis[v][e];
                        if(!ys[i][e]){
                            ys[i][e]=1;
                            s[i][++siz[i]]=e;
                        }
                        flag=1;
                        kil[i][j]=0;
                    }
                }
            }
        }
        if(!flag){
            break;
        }
    }
}
signed main(){
    int n,m;
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=1;j<=n;++j){
            dis[i][j]=1e16;
        }
        dis[i][i]=0;
    }
    for(int i=1;i<=m;++i){
        int u,v,w;
        scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&w);
        if(dis[u][v]>w){
            if(!ys[u][v]){
                ys[u][v]=1;
                s[u][++siz[u]]=v;
            }
            dis[u][v]=w;
        }
    }
    Ex_Floyd(n);
    return 0;
}

我们把它称作Ex_Floyd算法，为什么呢？我们通过一道题来说明:

http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1421

我们惊奇的发现，传统的Floyd算法竟然无法通过此题，而此算法可以

经过尝试发现，Floyd错的点中，存在负权边

事实证明，传统的Floyd似乎不能跑负权边啊。。。

而此算法可以，故命名为Ex_Floyd(经过一番尝试后,发现,此算法应与Floyd的复杂度接近,不过常数可能会大点)