E 小苯的排列构造

  • 我们注意到当 n > 9 时可以有如下构造方法: 对于前面较小的数, p[i]为i+4
i p[i]
1 5
2 6
3 7
4 8
5 9
6 10

假设n为10, 那么还剩下7, 8, 9, 10还没有对应的p[i], 我们考虑将1到4和它们匹配, 即:

i p[i]
7 1
8 2
9 3
10 4

如上述即为满足条件的构造

如果n为奇数, 则前一部分构造方式不变, 最后4个可以倒过来, 例如当n=11时

i p[i]
8 4
9 3
10 2
11 1
  • 当n <= 9时 显然可以暴力枚举每个排列 + 验证, 时间复杂度为 (n <= 9)

暴力代码如下

vector<int> a(n);
iota(all(a), 1);

vector<bool> p(20, true);
p[0] = p[1] = p[2] = p[3] = p[5] = p[7] = p[11] = p[13] = p[17] = p[19] = false;

auto check = [&]() {
  bool res = true;
  for (int i = 0; i < n; i ++) {
    if (!p[i + 1 + a[i]] or !p[abs(i + 1 - a[i])]) {
      res = false;
      break;
    }
  }
  return res;
};

do {
  if (check()) {
    cout << a << endl;
    return;
  }
} while (next_permutation(all(a)));

cout << -1 << endl;