题目难度: 中等
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题目描述
给定一个三角形 triangle ，找出自顶向下的最小路径和。
每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标 i ，那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1 。
示例 1：
- 输入：triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]
- 输出：11
- 解释：如下面简图所示：
2
3 4
6 5 7
4 1 8 3
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。
示例 2：
- 输入：triangle = [[-10]]
- 输出：-10
提示：
- 1 <= triangle.length <= 200
- triangle[0].length == 1
- triangle[i].length == triangle[i - 1].length + 1
- -10^4 <= triangle[i][j] <= 10^4
进阶：
- 你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题吗？
题目思考
- 如何优化算法复杂度?
解决方案
- 分析题目, 每一步只能移动到下一行中相邻的结点上, 我们可以利用这一点, 根据上一行下标 i 的最小路径和来更新当前行下标 i 和 i+1 的最小路径和
- 显然这就是动态规划的思路:
- 设
dp[r][i]代表第 r 行第 i 个下标的最小路径和 - 初始化
dp[0][0] = triangle[0][0], 其他值全是 inf, 表示开始时只有起点的路径和确定 - 然后进行状态转移, 对于第 r 行的第 i 个下标:
dp[r][i] = triangle[r][i]+min(dp[r-1][i-1],dp[r][i](如果 r 或 i 为 0, 则相应的 r-1 或 c-1 的 dp 值就是 inf, 表示不能从该方向转移而来) - 这样最后一行的最小 dp 值就代表整个三角形的最小路径和
- 设
- 这里可以额外进行一些优化, 将二维 dp 数组优化成一维, 这样就可以满足题目的进阶要求
- 具体做法就是只存储前一行和当前行的 dp 值, 记为 pdp 和 dp, 由于最后一行元素数目为 n, 所以整体空间复杂度就是 O(n)
- 然后在计算第 r 行的 dp 值时, 遍历 pdp, 根据
pdp[i]的值, 更新dp[i]和dp[i+1] - 计算完毕后, 再将 dp 赋值给 pdp, 用于下一行的计算
- 下面的代码有详细的注释, 方便大家理解
复杂度
- 时间复杂度
O(N^2): 需要两重循环求 DP 值 - 空间复杂度
O(N): 最多使用长度为 N 的 dp 数组
代码
class Solution:
def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
### 动态规划+滚动数组
n = len(triangle)
# pdp存储上一行的最小路径, 初始化为第0行
pdp = triangle[0]
for r in range(1, n):
# 初始化当前行的最小路径为+inf
dp = [float("inf")] * len(triangle[r])
for i in range(len(pdp)):
# 状态转移, 上一行的下标i可以移动到i或者i+1, 更新当前行对应下标的最小路径和
dp[i] = min(dp[i], triangle[r][i] + pdp[i])
dp[i + 1] = min(dp[i + 1], triangle[r][i + 1] + pdp[i])
pdp = dp
# 最终结果就是最后一行的最小路径和
return min(pdp)
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